Задача 16

Методом перемены плоскостей проекций определить истинную величину расстояния между двумя заданными прямыми. Построить проекции перпендикуляра, общего к заданным прямым.

16.1. Скрещивающиеся прямые (рис.16.1)

1. Для определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми последовательно вводим в существующую систему плоскостей проекций две дополнительные плоскости проекций. Первую дополнительную плоскость p₄вводим параллельно одной из заданных прямых, например прямойАВ, и перпендикулярно горизонтальной плоскости проекцийp₁(рис.16.2):

p₄||(АВ) иp₄^p₁.

В любом месте чертежа проводим ось x₁ параллельно горизонтальной проекции прямойАВ (А¢В¢).

2. Строим проекции скрещивающихся прямых АВиCDна плоскостиp₄. Из точекА¢,В¢,С¢иD¢перпендикулярно осиx₁строим линии проекционной связи, на которых от оси откладываем координатыzточекА,В,СиDи отмечаем точкиА^IV,B^IV,С^IV иD^IV. ПроекцииА^IV иB^IV, а такжеС^IV иD^IVсоединяем.

3. Вводим дополнительную плоскость проекций p₅по схеме:p₅ ^p₄иp₅ ^(АВ) (рис.16.3). В любом месте чертежа проводим осьx₂перпендикулярно проекцииА^IVB^IV.

4. Из точекА^IV ,B^IV,С^IV иD^IVперпендикулярно новой оси строим линии проекционной связи, на которых от оси откладываем новые координаты соответствующих точек. Строим проекции прямыхА^VB^VиС^VD^Vна плоскостиp₅. В новой системе проекций прямаяАВспроецировалась в точку, а прямаяCD– в прямую.

5. Кратчайшее расстояние hмежду точкойА^VºB^Vи прямойС^VD^Vявляется искомым расстоянием между прямымиABиСD.

6. Обратным ходом строим проекции общего для АВиCDперпендикуляраEF(проекцияE^IVF^IVпараллельна осих₂, так как в системе этих плоскостей проекцияE^VF^Vна плоскостиp₅выражает натуральную величину отрезкаEF).

16.2. Параллельные прямые (рис.16.4)

1. Ход решения аналогичен рассмотренному выше. Вводятся две дополнительные плоскости проекций: первая – параллельно заданным прямым (рис.16.5)

p₄||(АВ)||(CD) иp₄^p₁,

а вторая – перпендикулярно им (рис.16.6)

p₅^(АВ),p₅^(CD) иp₅^p₄.

Тогда после второго преобразования обе прямые спроецируются на плоскости p₅ в точки.

2. Расстояние между прямымиABиСDравно расстоянию между точкамиА^VºB^VиС^VºD^V. Расстояниеh– искомое расстояние.

3. Строим проекции перпендикуляра, общего к заданным прямым. Проекции на плоскостиp₄проведем через точкуD^IV(можно было взять и любую другую точку наC^IVD^IV) параллельно осиx₂.

Дальнейшие построения D¢E¢иD²E²очевидны из чертежа (рис.16.6).

Задача 17

Определить истинную величину угла между прямой LT и заданной плоскостью.

17.1. Плоскость задана следами (рис.17.1)

1. Угол между прямой и плоскостью определяется углом между прямой и ее проекцией на эту плоскость, т.е. угломj₁(рис.17.2). Если требуется определить лишь значение этого угла, нет необходимости строить его проекции. Угол между прямойTLи плоскостьюaможно определить, построив на чертеже уголj₂, составленный заданной прямой и перпендикуляром к плоскости, а искомый уголj₁определить как дополнительный до 90°:j₁= 90°–j₂.

2. Проведем из любой точки прямой TL, например точки T, перпендикуляр к плоскостиa(рис.17.3): фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна, горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна .

3. В плоскости, заданной прямой TLи перпендикуляром, через любую точку этой плоскости, например через точкуL, проводим горизонтальL1(рис.17.4).

4. Определяем истинную величину треугольника1TLи, следовательно, истинную величину угла1TL. Вращением вокруг горизонталиL1поворачиваем треугольникTL1в положение, параллельное плоскостиp₁(рис.17.5). ВершиныLи1, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Необходимо повернуть только точкуT.

Проводим плоскость вращения точкиТ– плоскостьg:

Т¢Î,  ^ 1¢L¢.

Определяем центр вращения О_Т(,) точкиТ:

=Ç1¢L¢,

Î1²L².

Радиус вращения точки Т на горизонтальную (Т¢) и фронтальную (Т²) плоскости проекций спроецирован с искажением. Истинную величину радиуса вращения определим как гипотенузу прямоугольного треугольника T¢T₀, катетами которого являются горизонтальная проекция радиуса вращения T¢ и разность координат Dz_T. Новое положение точки`T¢ находится в пересечении дуги радиуса T₀ с центром в со следом плоскости вращения точкиT – .

Треугольник`T¢L¢1¢является натуральной величиной треугольникаTL1, а уголj₂– натуральной величиной угла между прямойTLи перпендикуляром к плоскостиa.

5. Дополняем угол j₂ до 90°. Между прямой TL и плоскостью a искомый угол j₁ = 90° – j₂.