Задача 8

Построить линию пересечения двух заданных плоскостей. Показать взаимную видимость плоскостей.

8.1. Одна плоскость задана следами, другая – плоской фигурой (рис.8.1)

1. Линия пересечения двух плоскостей, как уже говорилось выше, определяется двумя точками, общими для этих плоскостей. В данном случае две такие точки могут быть найдены, как точки пересечения любых сторон плоской фигуры с плоскостью .

2. Находим точку пересеченияK₁прямойАСс плоскостью(см. задачу 7): через прямуюАCпроводим вспомогательную плоскость, например фронтально-проецирую­щую плоскость(рис.8.2), находим линию пересеченияМ₁N₁плоскостейии в ее пересечении с прямойАСопределяем искомую точкуK₁с проекциямии.

3. Находим точку пересечения K₂ прямой BС с плоскостью : проводим вторую вспомогательную плоскость, например горизонтально-проецирую­щую плоскость (рис.8.3), находим линию пересечения М₂N₂ плоскостей  и  и в ее пересечении с прямой BС определяем искомую точку K₂ с проекциями и.

4. Зная точки K₁иK₂, общие для плоскостии плоскости треугольникаABC, проводим через них линию пересеченияK₁K₂с проекциямии(рис.8.4).

5. Определяем видимость плоскостей друг относительно друга на основе анализа положения конкурирующих точек, например: точек1иМ₂– на горизонтальной плоскости проекций и точек2иN₁– на фронтальной плоскости проекций (см. задачу 7).

8.2. Обе плоскости заданы плоскими фигурами (рис.8.5)

1. В данном случае две точки, общие для плоскостей, заданных плоскими фигурами, могут быть найдены двумя способами:

 как точки пересечения сторон одной фигуры с плоскостью второй фигуры;

 одна точка как точка пересечения стороны первой фигуры с плоскостью второй фигуры, а другая – как точка пересечения стороны второй фигуры с плоскостью первой фигуры.

2. Находим точку K₁ () пересечения стороныAC треугольника АВС с плоскостью треугольника EDF (рис.8.6):

 через прямую АС проводим вспомогательную плоскость, например фронтально-проецирующую плоскость ;

 строим линию пересечения 12 плоскости  и треугольника EDF;

 определяем горизонтальную проекцию точки встречи

=АС12

и ее фронтальную проекцию

АС.

3. Аналогично находим точку K₂(,) пересечения другой стороны треугольникаАВС, например стороныBCс плоскостью треугольникаEDF(рис.8.7). Для этого через сторонуВСпроводим вспомогательную горизонтально-проеци­рующую плоскость, строим линию пересечения34плоскостейи треугольникаEDFи определяем проекции точки встречиK₂:

=BC34;

ВС.

4. Зная две точки, общие для заданных плоскостейАВСиEDF, проводим через них линию пересеченияK₁K₂(и) (рис.8.8).

5. Определяем видимость плоских фигур друг относительно друга при помощи анализа положения конкурирующих точек.

Выбираем конкурирующие точки для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций, например в пересечении горизонтальных проекций ВСиDF:

4(DF);

5(BC).

По фронтальной проекции точек 4и5видно, что точка4находится выше точки5, поэтому на горизонтальной плоскости проекций прямаяDFбудет закрывать прямуюВС. Следовательно, в этой части треугольникEDFбудет ближе к наблюдателю, чем треугольникАВС, и участок треугольникаАВС, ограниченный прямойDFи линией пересеченияK₁K₂, будет невидимым. От противного по другую сторону линии пересечения ближе к наблюдателю окажется треугольникАВС, который закроет часть стороныEFтреугольникаEDF.

Выбираем конкурирующие точки для определения видимости на фронтальной плоскости проекций, например в пересечении фронтальных проекций АС и ЕD:

1(ED);

6(AC).

Рассматривая горизонтальные проекции точек 1и6, видим, что точка1находится ближе к наблюдателю. Следовательно, в направлении на плоскость₂прямаяEDзакрывает прямуюАС, и в этой области треугольникЕDFбудет ближе к наблюдателю, чем треугольникАВС. Поэтому на фронтальной плоскости проекций часть треугольникаАВС, ограниченная прямойEDи линией пересеченияK₁K₂, будет невидимой. Рассуждая от противного, по другую сторону от линии пересечения ближе к наблюдателю окажется треугольникАВС, закрывающий от обзора часть стороныEFтреугольникаEDF.

Задача 9

Определить истинную величину расстояния от точки K до заданной плоскости.