Решение типового варианта

Задание 1. Найти области определения и значений функции .

Решение. Логарифмическая функция определена, если ,, что возможно при.

Область D определения функции

Так как в D , то интервал- область значений функцииЕ.

Задание 2. Исследовать функцию на четность или нечетность

а) .

Решение. Подставим в функцию вместо х значение –х:

Так как выполняется равенство , то данная функция является четной.

б) .

Решение.

Так как выполняется равенство , то данная функция является нечетной.

в) Исследовать функцию на четность и нечетность .

Решение. , т.е. данная функция ни четная, ни нечетная, это функция общего вида.

Задание 3. Найти наименьший период функции .

Решение. Период для функций иравен. Функцияимеет период в 3 раза меньше, т.е.,. Наименьший период суммыдолжен быть таким, чтобыипомещались в нем целое число раз. В данном случае.

Задание 4. Построить график функции

а) .

Решение.

1. Строим график ;

2. сжимаем его вдоль осив 2 раза, получаем график;

3. сдвигаем график влево наи получаем график;

4. растягиваем график вдоль осив 2 раза и получаем требуемый график.

б) Построить график функции .

Решение.

1) строим график ;

2) сдвигаем его влево по осина 1, получаем график функции;

3) сжимаем график вдоль осив 2 раза и строим симметричный ему относительно оси, получаем график;

4) поднимаем график функции по оси Оy вверх на две единицы, получаем искомый график.

2. Предел последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах

Предел последовательности

Определение. Число a называется пределом числовой последовательности , если для любого, сколь угодно малого, наперед заданного числасуществует такой номер, что для всехвыполняется неравенство:

. (1)

Обозначение:

Предел функции

Число А называется пределом функции при ( определена в некоторой окрестности т. ), если для любогосуществует такое(), что как только

выполняется неравенство

. (2)

Теоремы о пределах

1. Если существует (), то

2. Если существует и, то

Таким образом, для вычисления необходимо вподставить значение.

Если условия этих теорем не выполняется то могут возникнуть неопределенности. Простейшие из них вида ,ираскрываются с помощью алгебраических преобразований.

АЗ-2

1. Доказать, что последовательность имеет предел. (Указать).

Ответ: .

Найти пределы указанных функций.

2. .	13. .
3. .	14. .
4. .	15. .
5. . 6. .	16. . 17. .
7. .	18. .
8. .	19. .
9. .	20. .
10. .	21. .
11. .	22. .
12. .

ИДЗ-2

Задание 1. Доказать, что (Указать)

1. ,	.	16. ,	.
2. ,	.	17. ,	.
3. ,	.	18. ,	.
4. ,	.	19. ,	.
5. ,	.	20. ,	.
6. ,	.	21. ,	.
7. ,	.	22. ,	.
8. ,	.	23. ,	.
9. ,	.	24. ,	.
10. ,	.	25. ,	.
11. ,	.	26. ,	.
12. ,	.	27. ,	.
13. ,	.	28. ,	.
14. ,	.	29. ,	.
15. ,	.	30. ,	.

Задание 2. Вычислить пределы указанных функций

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 3	Вариант 4
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 5	Вариант 6
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 7	Вариант 8
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 9	Вариант 10
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 11	Вариант 12
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 13	Вариант 14
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 15	Вариант 16
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 17	Вариант 18
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 19	Вариант 20
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 21	Вариант 22
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 23	Вариант 24
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 25	Вариант 26
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 27	Вариант 28
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Вариант 29	Вариант 30
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Задание 3.* Вычислить пределы числовых последовательностей (функций)

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 3	Вариант 4
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 5	Вариант 6
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 7	Вариант 8
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 9	Вариант 10
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 11	Вариант 12
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 13	Вариант 14
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 15	Вариант 16
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 17	Вариант 18
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 19	Вариант 20
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 21	Вариант 22
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 23	Вариант 24
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 25	Вариант 26
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 27	Вариант 28
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Вариант 29	Вариант 30
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.