- •Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Содержание
- •Периодичность функций
- •Простейшие преобразования графиков
- •Решение типового варианта
- •2. Предел последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Решение типового варианта
- •3. Замечательные пределы
- •Решение типового варианта
- •4. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций Бесконечно малая функция
- •Решение типового варианта
- •5. Односторонние пределы. Непрерывность функций
- •Решение типового варианта
Решение типового варианта
Задание 1. Доказать, что (указать).
, .
Доказательство.
Согласно определению предела последовательности (1) число а является пределом числовой последовательности , если выполняется неравенство
.
В нашем случае имеем
выразим n из этого неравенства
Решив последнее неравенство, получаем
.
Таким образом какое бы малое мы не задали, всегда найдется такое числоN, что при будет выполняться неравенство (1), а следовательно, число 3 действительно является пределом последовательности, ч.т.д.
Например, для , т.е.,,
для , т.е.,и т.д.
Задание 2. Найти пределы указанных функций
1.
Согласно теоремам о пределах подставляем в значение.
.
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, один из которых является критическим (т.е. превращает числитель и знаменатель дроби в 0). В данном случае критическим является множитель. Вообще же длякритическим является множитель ().
0 0
.
Сократив полученную дробь на критический множитель, вычисляем предел
.
7.
Имеем неопределенность вида , но прежде чем выделить критический множительи сократить дробь на него, необходимо умножить числитель и знаменатель исходной дроби на сопряженное (т.е. с противоположным знаком) для числителя выражение, что позволит нам избавиться от иррациональности в числителе.
8.
Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби на(т.к. старшая степень всей дроби – третья).
Получим
Т.к. ,,и, получаем.
9.
Аналогично предыдущему примеру выносим из числителя и знаменателя старшую степень всей дроби и сокращаем на нее, получая
.
10.
11. .
Имеем неопределенность вида . Она раскрывается переводом в неопределенность видаили, для чего выражение в скобках приводим к общему знаменателю. Получим
.
Задание 3.* Вычислить пределы числовых последовательностей (функций)
1.
Замечание. Неопределенность вида можно раскрывать проще, учитываятолько старшие степени числителя и знаменателя (m и l). Из приведенных выше примеров можно заметить, что
Таким образом в данном примере т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковы () то предел равен соотношению коэффициентов при этих степенях т.е.
.
2.
Старшая степень числителя и старшая степень знаменателяодинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при них т.е..
3.
Разделим числитель и знаменатель дроби на критический множитель ()
0 0
Получаем предел
Снова делим числитель и знаменатель на ()
0 0
Получаем
4. .
Умножим числитель и знаменатель дроби на множители, сопряженные числителю и знаменателю.
.
5.
Умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряженный числителю множителя , а для знаменателя выбираем множителичтобы избавиться от корня кубического.
Замечание. Множитель необходимо умножить на выражение
3. Замечательные пределы
Первый замечательный предел
(3)
Второй замечательный предел
(4)
или
(4’)
Полезные пределы
1. ;
2. ;
3. ;.
АЗ-2
Вычислить пределы
1. . (5)
2. .
3. .
4.
5. .
6. .
7. .
!!!
8. .
9. . (0)
10. . (0) или
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
ИДЗ-3
Задание 1. Вычислить указанные пределы
Вариант 1 |
Вариант 2 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 9 |
Вариант 10 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 15 |
Вариант 16 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 21 |
Вариант 22 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 25 |
Вариант 26 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 27 |
Вариант 28 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1. |
1. |
2. |
2. |
3. |
3. |
4. |
4. |
5. |
5. |