- •Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Содержание
- •Периодичность функций
- •Простейшие преобразования графиков
- •Решение типового варианта
- •2. Предел последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Решение типового варианта
- •3. Замечательные пределы
- •Решение типового варианта
- •4. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций Бесконечно малая функция
- •Решение типового варианта
- •5. Односторонние пределы. Непрерывность функций
- •Решение типового варианта
Решение типового варианта
1. .
Воспользуемся первым замечательным пределом (3) предварительно сведя к нему исходное выражение
=
2. =
=.
3. ,
.
4. .
Сведем исходный предел ко второму замечательному пределу (4)
.
5. .
Воспользуемся другой формой записи второго замечательного предела (4’).
.
4. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций Бесконечно малая функция
Определение. Если (т.е. для любогосуществует, такое, что присправедливо неравенство) тоназываетсябесконечно малой функцией при . Для сравнения двух бесконечно малыхипринаходят предел их отношения
. (5)
если , то- бесконечно малая более высокого порядка, чем;
если , то- бесконечно малая более низкого порядка, чем;
если , тои- бесконечно малые одного порядка;
если , тоиназываютсяэквивалентными величинами: ~.
Примеры эквивалентных б.м.в (при )
~
~
~
~
~
~
~
~
~
Для раскрытия неопределенности вида можно воспользоваться следующим правилом: если~;~прито верны равенства:
АЗ-4
1. Сравнить функции ипри
а) ,; б),;
в) ,; г),.
2. Доказать, что функцию иприявляется бесконечно малыми одного порядка.
данные функции одного порядка малости ч.т.д.
3. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
а) б)
в) г)
д) е)
ж)
ИДЗ-4
Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции ипри
№ вар |
№ вар | ||||
1. |
16. | ||||
2. |
17. | ||||
3. |
18. | ||||
4. |
19. | ||||
5. |
20. | ||||
6. |
21. | ||||
7. |
22. | ||||
8. |
23. | ||||
9. |
24. | ||||
10. |
25. | ||||
11. |
26. | ||||
12. |
27. | ||||
13. |
28. | ||||
14. |
29. | ||||
15. |
30. |
Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые
1. |
11. |
21. | |||
2. |
12. |
22. | |||
3. |
13. |
23. | |||
4. |
14. |
24. | |||
5. |
15. |
25. | |||
6. |
16. |
26. | |||
7. |
17. |
27. | |||
8. |
18. |
28. | |||
9. |
19. |
29. | |||
10. |
20. |
30. |
Задание 3.* Вычислить пределы функций
1. |
11. |
21. |
2. |
12. |
22. |
3. |
13. |
23. |
4. |
14. |
24. |
5. |
15. |
25. |
6. |
16. |
26. |
7. |
17. |
27. |
8. |
18. |
28. |
9. |
19. |
29. |
10. |
20. |
30. |
Решение типового варианта
Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции
и при
Решение. Находим
- бесконечно малая более низкого порядка по сравнению с .
Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых
Задание 3. Вычислить предел функции
а)
Запишем каки перейдем к эквивалентной бесконечно малой~, получаем
.
б)
Запишем как~
как~, получим
.