- •Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Содержание
- •Периодичность функций
- •Простейшие преобразования графиков
- •Решение типового варианта
- •2. Предел последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Решение типового варианта
- •3. Замечательные пределы
- •Решение типового варианта
- •4. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций Бесконечно малая функция
- •Решение типового варианта
- •5. Односторонние пределы. Непрерывность функций
- •Решение типового варианта
5. Односторонние пределы. Непрерывность функций
Определение. Если существует предел вида (т.е.принимает только значения, меньшие) то он называетсяпределом функции в т.слева.
Аналогично называетсяпределом в т.справа. Оба этих предела называются односторонними. Очевидно, что для существования предела в т. , необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в этой точке существовали и были равны между собой.
Определение. Функция называетсянепрерывной в т. , если:
1) определена в т.и ее окрестности;
2) существует ;
3) .
Другими словами непрерывна в т., если бесконечно малому приращению аргументасоответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называетсянепрерывной в этой области.
Точка , в которой хотя бы одно из условий 1-3 не выполняется называетсяточкой разрыва функции.
Если , а, то- точкаустранимого разрыва.
Если при этом эти пределы существуют и конечны, то-точка разрыва 1-го рода.
Если же хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то -точка разрыва 2-го рода.
АЗ-5
1. Доказать непрерывность функций ,.
2. Исследовать на непрерывность функции:
а) , б),
в) г)
д)
3. Установить область непрерывности функции , найти ее точки разрыва и построить схематично ее график.
4. Дана функция
Найти точки разрыва и построить ее график.
5. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично графики функций
а) , б), в).
ИДЗ-5
Задание 1. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики
1. |
16. | ||
2. |
17. | ||
3. |
18. | ||
4. |
19. | ||
5. |
20. | ||
6. |
21. | ||
7. |
22. | ||
8. |
23. | ||
9. |
24. | ||
10. |
25. | ||
11. |
26. | ||
12. |
27. | ||
13. |
28. | ||
14. |
29. | ||
15. |
30. |
Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, указать характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики.
1. |
11. |
21. | |||
2. |
12. |
22. | |||
3. |
13. |
23. | |||
4. |
14. |
24. | |||
5. |
15. |
25. | |||
6. |
16. |
26. | |||
7. |
17. |
27. | |||
8. |
18. |
28. | |||
9. |
19. |
29. | |||
10. |
20. |
30. |
Решение типового варианта
Задание 1. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график
Решение.
Функции ,,приопределены и непрерывны в заданных областях т.к. являются элементарными функциями. Таким образом разрыв возможен только в точкахи. Найдем односторонние пределы в окрестностях этих точек.
При получаем:
предел слева ,
предел права .
Т.к. односторонние пределы в т. равны между собой, то функция в этой точке непрерывна.
При получаем:
предел слева ,
предел права .
Т.к. то в т.имеем разрыв 1-го рода (т.к. оба предела конечны).
Задание 2. Установить точки разрыва заданных функций, установить характер разрыва в этих точках и построить схематично их графики.
Решение.
Данная функция не существует в т. , следовательно- точка разрыва. Найдем односторонние пределы в окрестности этой точки.
Таким образом в т. имеем разрыв второго рода. Для построения схематичного графиканайдем:
- горизонтальная асимптота графика функции. Строим график