- •Министерство Российской Федерации
- •Тема 2. Нагрузка. Потери. Пропускная способность коммутационных
- •Тема 3. Полнодоступный пучок. Системы с потерями …………………….
- •Тема 4. Полнодоступный пучок. Система с ожиданием …………………..
- •Тема 5.Неполнодоступный пучок. Системы с потерями ………………….
- •Тема 6. Звеньевые коммутационные системы ……………………………..
- •Тема 7. Методы расчеты характеристик качества обслуживания в
- •Введение
- •Тема 1. Потоки вызовов.
- •1.1 Способы задания потоков вызовов.
- •1.2 Принципы классификации потоков вызовов.
- •1.3 Основные характеристики потоков вызовов.
- •1.4 Простейший поток вызовов.
- •1.5 Интенсивность простейшего потока вызовов.
- •1.6 Функция распределения промежутков между вызовами простейшего потока.
- •1.7 Закон распределения длительности обслуживания вызовов.
- •1.8 Классификация потоков вызовов.
- •1.9 Особенности формирования потоков в цифровых сетях интегрального обслуживания.
- •1.10 Вопросы для самоконтроля
- •Тема 2. Нагрузка. Потери. Пропускная способность коммутационных систем.
- •2.1. Понятие о нагрузке.
- •2.2. Основные параметры поступающей нагрузки.
- •2.3. Час наибольшей нагрузки
- •2.4.Характеристика параметров нагрузки.
- •2.5. Определение величины поступающей нагрузки.
- •2.6. Понятия о потерях.
- •2.7. Пропускная способность коммутационной системы.
- •2.8. Свойства и характеристики нагрузки в цифровых сетях интегрального обслуживания.
- •2.9. Вопросы для самоконтроля.
- •Тема 3. Полнодоступный пучок. Системы с потерями
- •3.1 Условные обозначения Кендалла-Башарина
- •3.2 Обслуживание симметричного потока вызовов
- •Постановка задачи
- •3.3 Обслуживание простейшего потока вызовов
- •Постановка задачи
- •Рекуррентные соотношения
- •3.4 Пропускная способность каждой линии пучка Постановка задачи
- •Решение
- •Графическая иллюстрация
- •3.5 Обслуживание примитивного потока вызовов
- •Рекуррентные соотношения
- •Графическая иллюстрация
- •3.6 Вопросы для самоконтроля
- •Тема 4 полнодоступный пучок. Система с ожиданием.
- •4.1 Постановка задачи.
- •4.2 Обслуживание однозвенной полнодоступной коммутационной системой простейшего потока вызовов. Система с ожиданием. Модель типа m/m/V. Вторая формула Эрланга
- •4.3 Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Экспоненциальное распределение длительности обслуживания вызовов.
- •4.4 Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Постоянная длительность занятия. Формула Кроммелина. Модель типа m/d/V.
- •4.5 Однолинейный пучок. Формула Полячека-Хинчина. Модели m/m/1, м/d/1. Результаты Берка.
- •4.6 Область применения систем с ожиданием и систем с потерями.
- •4.7. Вопросы для самоконтроля
- •Тема 5. Неполнодоступный пучок. Системы с потерями.
- •5.1 Общие сведения
- •5.2. Число состояний в схемах неполнодоступного включения (в неполнодоступных пучках линий).
- •5.3. Идеально - симметричное неполнодоступное включение
- •5.4. Обслуживание простейшего потока вызовов идеально – симметричным пучком линий. Схема с потерями.
- •5.5 Априорные методы расчета потерь в неполнодоступных пучках.
- •5.6 Вопросы для самоподготовки
- •Тема 6. Звеньевые коммутационные системы.
- •6.1 Общие сведения.
- •6.2 Расчет потерь в двухзвенных коммутационных системах. Метод эффективной доступности.
- •6.3 Структура многозвенных коммутационных систем.
- •6.4 Способы межзвеньевых соединений и методы искания в многозвенных коммутационных системах.
- •6.5 Оптимизация структуры многозвенных систем. Результаты а. Лотце.
- •6.6 Расчет потерь в многозвенных коммутационных системах. Метод вероятностных графов.
- •6.7 Расчет потерь в многозвенных коммутационных схемах. Методы клигс и ппл.
- •6.8 Вопросы для самоконтроля.
- •Тема 7. Методы расчета характеристик качества обслуживания в цифровых системах интегрального обслуживания (цсио)
- •7.1 Общие положения
- •7.2 Обслуживание самоподобной нагрузки.
- •7.3 Расчет пропускной способности мультисервисных телекоммуникационных сетей.
- •7.4 Приближенный метод расчета характеристик качества обслуживания распределенных систем обработки информации
- •7.5 Вопросы для самоконтроля
- •Тема 8. Полнодоступный пучок. Система с повторными вызовами.
- •8.1. Постановка задачи.
- •8.2. Предельная величина поступающей нагрузки.
- •8.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами.
- •8.4. Основные характеристики качества работы системы с повторными вызовами.
- •8.5. Вопросы для самоконтроля.
- •Тема 9. Статистическое моделирование задач теории телетрафика
- •9.1 Общие сведения.
- •9.2 Моделирование случайных величин
- •9.3 Основы моделирования коммутационных систем.
- •9.4 Статистические характеристики моделирования.
- •9.5 Достоверность результатов моделирования.
- •9.6 Вопросы для самоконтроля
- •Тема 10.Распределение нагрузки и потерь на сетях связи.
- •10.1 Суммарные потери.
- •10.2 Способы распределения нагрузки.
- •10.3 Колебания нагрузки. Расчетная интенсивность нагрузки.
- •10.4 Вопросы для самоконтроля.
- •Тема 11. Расчёт обходных направлений на сетях связи.
- •11.1 Общие сведения.
- •11.2 Обходные направления.
- •11.3 Параметры избыточной нагрузки.
- •11.4 Метод эквивалентных замен.
- •11.5 Вопросы для самоконтроля.
- •Тема 12 измерение нагрузки и потерь в сетях связи
- •12.1 Цели и задачи измерений
- •12.2 Методы измерений
- •12.3 Обработка результатов измерений.
- •12.4 Определение объема измерений
- •12.5 Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Словарь терминов и определений
- •Инструкция по пользованию комплектом электронных материалов по дисциплине “Теория телетрафика”
1.3 Основные характеристики потоков вызовов.
Ведущая функция потока вызовов ();
Интенсивность потока вызовов ();
Параметр потока вызовов ().
Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени [0; t), называется ведущей функцией потока.
Обозначим эту функцию (0,t). Функция (0,t) – неотрицательная, неубывающая и в практических задачах принимает конечное значение.
Потоки с непрерывной ведущей функцией называются регулярными, а со ступенчатой – сингулярными. В дальнейшем будут рассматриваться только регулярные потоки.
Интенсивность потока является характеристикой стационарных потоков.
Под интенсивностью стационарного потока понимают математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.
За единицу времени принимают среднее время обслуживания одного вызова.
Для нестационарных потоков существуют характеристики:
а) Средняя интенсивность потока за отрезок времени [a,b) - ;
б) Мгновенная интенсивность (t) .
Рис. 1.10 – К определению интенсивности потоков.
За время [0,a) поступает (0,a) вызовов;
За время [0,b) поступает (0,b) вызовов.
Тогда средняя интенсивность потока за отрезок [a,b) есть:
.
(0,а), (0,b) – математическое ожидание числа вызовов, поступающих в течение отрезков [0,а), [0,b).
(0,а), (0,b), (0,t) – ведущая функция потока.
Мгновенная интенсивность.
Рис. 1.11 – К определению мгновенной интенсивности потока вызовов.
За время [0,t) поступает (0,t) вызовов,
За время [0,t+) поступает (0,t+) вызовов.
Здесь (0,t), (0,t+) – ведущие функции потока
;
Мгновенная интенсивность – это производная ведущей функции потока.
Параметр потока
Под параметром потока в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления 1-го и более вызовов за отрезок времени [t, t+] при 0 к этому промежутку времени при 0
Это плотность вероятности поступления вызовов в момент времени [t,t+].
Для стационарных потоков (t)=, т.е. не зависит от момента, к которому относится параметр.
Из определения следует
1(t,t+)=(t)+0() при 0
В последнем 0()- бесконечно малая более высокого порядка чем 0
Тогда для стационарных потоков 1(t,t+)=+0(), 0
Какова связь между и ? (теорема Королюка - Зитека)
Для стационарных потоков (без док-ва)
.
Для стационарных ординарных потоков
=
Рис.1.11 - Иллюстрация теоремы Королюка-Зитека .
Пусть на первой оси стационарный ординарный поток с .1 и 1. В силу выше изложенного 1=1.
На второй оси показан неординарный поток, т.к. в каждый момент поступает 2 вызова
В каждый момент времени
2=21=21
Моменты поступления вызовов зависят от и определяются им, но не зависит от того сколько вызовов поступит в момент времени.
1.4 Простейший поток вызовов.
На практике в качестве модели реальных потоков часто используют простейший поток вызовов.
Простейший поток вызовов - это ординарный, стационарный поток без последействия.
Математическая модель простейшего потока.
Рассмотрим отрезок времени и определим вероятность того, что в течение этого отрезка поступит ровноk вызовов,
т.е. Рк(а,а+t+).
Представим этот отрезок времени двумя
[а,а+t) и [а+t,а+t+)
или [а,а+t+)=[а,а+t)+[а+t,а+t+)=[а,а+t)+[t,t+).
Таким образом, имеем
[а,а+t+)=[а,а+t)+[t,t+).
За это время согласно условию должно поступить k вызовов.
Возможны следующие случаи:
За I отрезок поступит За II отрезок
1.k вызовов 0 вызовов
2. k-1 1
3. k-2 2
………………………………………………….
.…………………………………………………
………………………………………………….
k-i i
…………………………………………………..
0 k
Введем обозначения :
Рк-i(а,а+t)- вероятность поступления k-i вызовов за отрезок времени [а,а+t),
Рi(t,t+)- вероятность поступления i вызовов за время [t,t+).
Тогда искомую вероятность можно найти, как произведение вероятностей
т.к. поток простейший, т.е. без последействия и, следовательно, поступление k-i вызовов и i вызовов- события независимы. Устремим 0.
Тогда в силу ординарности потока за 0 может поступить только 1 либо 0 вызовов. Откуда
.
Здесь 0() учитывает вероятность поступления 2 и более вызовов за 0.
Вместо i поставим его значение
Рk(а,а+t+)=Рk-1(а,а+t)P1(t,t+)+Рk(а,а+t)Р0(t,t+)+0() при 0, k=0,1,2…..
Напомним, что k число за промежуток [а,а+t+). Вероятность того, что за [t,t+) поступит только один вызов
Р1(t,t+)=1(t,t+)-2(t,t+).
Из определения параметра потока
1(t,t+)=+01(), 0
В силу ординарности потока
2(t,t+)=02()
Перед бесконечно малыми величинами всегда ставим знак плюс, т.к. вероятность не может быть отрицательной.
Тогда
Р1(t,t+)=+01()
Р0(t,t+)=0(t,t+)-1(t,t+)=1-t+02() при 0.
Здесь Р0(t,t+)- вероятность поступления точно нуля вызовов за время [t,t+), а вероятность поступления 0,1,2… вызова за [t,t+]
0(t,t+)=1, т.е. явл. достоверное.
Индексы 1,2….. в 0() указывает на различия между бесконечно малыми величинами.
Таким образом,
Рk(а,а+t+)=Pk-1(а,а+t)[+0 1()]+Рk(а,а+t)[1-+0 2()]+03() при 0 k=0,1,2…
Перенесем из правой части в левую Рk(а,а+t) и поделим обе части на
;
0, k=0,1,2…
устремим пределу обе части уравнения
, т.к.
.
Получим
при k=0,1…,.
Итак, имеем систему дифференциальных уравнений, которые будем решать методом производящих функций, который является основным методом комбинаторного анализа.
Идея метода заключается в следующем:
Есть последовательность
а0,а1,……………., ак…
Производящей функцией этой последовательности является сумма ряда
Если известно, что последняя сумма сходится в окрестности точки х=0, то ищется ряд А(х).Далее, имея ввиду однозначное соответствие между членами обоих рядов, нетрудно найти все члены первой последовательности.
В нашем случае имеем
при k=0,1,2…
Суммируя обе части уравнения
.
Сумма производных равна производной суммы (свойства аддитивности производной).
.
обозначим
- производящая функция, зависящая от t и х,
а выражение
т.к. при k=0 это выражение смысла не имеет (Р-1).
Обозначим k-1=n,
если k=1, то n=0,
если k=, то n=
Перейдя к новой переменной суммирования
вместо n напишем снова k
Интегрируем обе части от 0 до t
т.к. t=0.
В силу ординарности потока
следовательно при k=2,3…
или
,
т.к.
вместо Ф(t,x) подставим его значение.
В результате получаем формулу Пуассона, которая определяет вероятность того, что на интервале времени (t) поступит точно (k) вызовов.
.
Принимая t=1:
.
Графическая иллюстрация:
Рис. 1.12 – Завмсимость Pk=f(k).
Из рисунка видно, что при увеличении форма огибающей закона Пуассона приближается к нормальному закону распределения. При >10 они практически сливаются.
Покажем, что формула Пуассона является законом распределения СВ (k).
.
Таким образом, формула Пуассона обладает основным свойством любого закона распределения.
Можно показать, что сумма независимых простейших потоков образует также простейший поток с параметром, равным сумме параметров объединяемых потоков.
Для распределения Пуассона справедливы следующие соотношения:
При t=1:
.