3.2. Сложные проценты

Сложные проценты отличаются от простых, как известно, тем, что при простой процентной ставке в единицу времени накопление за единиц времени находится по формуле

(2.1)

Если простые процентные ставки в различные единицы времени различны: то накопление за единиц времени находится по формуле

(2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) описывают круг задач на сложные проценты, то есть одна из величин находится, если заданы остальные. При этом дисконтирующий множитель имеет вид:

где –- дисконтирующий множитель за 1единицу времени.

Пример 2.1.Фактическая простая процентная ставка на насто­ящее время составляет 12 % в год, но через 2 года она понизится до 5 % в год. Найти накопление вклада 2 000 у. д. е. за 4 года.

Решение: Согласно формуле (2.2)

Иногда в реальной практике деловой жизни используются так называемые номинальные процентные ставки в единицу времени на срок от момента времени . Величина определяется так, что фактическая простая процентная ставка на срок равна , то есть

(2.3)

где – начальный капитал; – накопленный капитал.

Пример 2.2. Номинальная годовая процентная ставка на срок 3 дня равна 10,8 % Найти накопление капитала 1 000 у. д. е.

Решение: По формуле (2.3) находим

Определим коэффициент накопления. Для под величиной

(коэффициент накопления) будем понимать накопленную стоимость единичной суммы за время от момента

Из определения и следуют формулы

,

.

Накопление капитала находится по формуле

(2.4)

При нормально функционирующей экономике выполняется прин­цип согласованности, определяемый при тождеством

Пример 2.3. Коэффициент накопления определяется формулой

в единицу времени – 1 год.

Найти:

а) накопление суммы 250 у. д. е. от момента на срок

(месяц);

б) проверить принцип согласованности.

Решение: а) по формуле (2.4) находим

, (2.5)

, (2.6)

. (2.7)

Перемножая (2.5) и (2.6), получим

Условие согласованности выполняется.

3.3. Сила процента

Во многих случаях при теоретических исследованиях и практических

расчётах используется сила процента, т.е. процентная ставка, изменяющаяся с течением времени по произвольному закону. По определению, сила процента равна пределу номинальной про­центной ставки , когда величина стремится к нулю. Исходя из этого определения можно получить следующие соотношения между силой процента, коэффициентами накопления и номинальными процентными ставками:

Особый интерес представляет случай, когда сила процента постоянна, т.е.

В этом случае процентная ставка в единицу времени связана с

формулами

(3.1)

Для номинальной процентной ставки

Для процентной ставки в единицу времени

(3.2)

Если

номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в еди­ницу времени.

Тогда

(3.3)

Накопление капитала при переменной силе процента находится по формуле

(3.4)

при постоянной силе процента

(3.5)

Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 150 у. д. е. за 1,5 года при постоянной силе процента в год. Найти годовую процентную ставку, соответствующую данной силе процента.

Решение: По формуле (3.5)

По формуле (3.1)

Пример З.2. Накопление происходит при переменной силе про­цента, определяемой формулой

в год. Найти , если известно, что сумма 100 у. д. е. даёт накопление 125 у. д. е. за 1,3 года, 175 у. д. е. за 2,5 года.

Решение: Согласно формуле (3.4)

Логарифмируя полученные равенства, имеем

Решая систему, получим ,

то есть .

Пример 3.3. Процентная ставка в год равна 15 %. Найти экви­валентную ей годовую процентную ставку, конвертируемую ежеквар­тально.

Решение. Воспользуемся формулой (3.3) при р = 4:

Пример 3.4. При найти, эквивалентную процентную ставку, конвертируемую раз в 30 дней.

Решение: Согласно формуле (3.2)

Если известна сила процента,то текущая или дисконтиро­ванная стоимость накопленного капитала находится по формуле

(3.6)

дисконтирующий множитель

. (3.7)

Если сила процента постоянна, то есть , то

(3.8)

(3.9)

где – процентная ставка; – учётная ставка в единицу времени.

Довольно часто в высшем финансовом анализе используется модель силы процента, определяемая формулой Студли:

. (3.10)

Формула (3.10) обладает тем замечательным свойством, что дисконтирующий множитель равен среднему взвешенному двух дисконтирующих множителей с постоянной силой процента:

. (3.11)

Пример 3.5. Пусть:

1. Сила процента равна 8 % в год.

2. Сила процента является кусочно-постоянной функцией:

в год..

Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е, накопленной за 20 лет.

Решение.

1. По формуле (3.8)

.

2. По формуле (3.6)

3.4. Потоки наличности

Потоки наличности подразделяются на непрерывные и дискретные.