3.5. Уравнение стоимости

Во многих случаях приходится сравнивать сделки по степени выгодности или доходности. Аппаратом такого сравнения служат уравнение стоимости и внутренняя норма прибыли сделки. Любую сделку можно трактовать как некоторый поток наличности. Рассмот­рим сделку, определяемую дискретным потоком наличности

Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид

. (5.1)

Решение уравнения (5.1) называется внутренней нормой при­были или доходностью сделки. Среди нескольких сделок следует выби­рать такую, при прочих равных условиях у которой доходность максимальна. Область определения левой части (5.1) определяется неравенством ,

однако реальный экономический смысл имеет только положительная доходностьСледует иметь в виду, что доходность сделки существует, если уравнение (5.1) имеет только положительный корень.

Сформулируем правила, на основании которых можно опреде­лить, не решая уравнение стоимости, имеет данная сделка положи­тельную доходность или нет.

Правило 1. Пусть сделка задана потоком наличности ,

Пусть накопленные к моменту времени итоговые суммы

обладают следующими свойствами:

1)

2) после исключения нулевых значений последовательность имеет ровно одну перемену знака.

Тогда уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень.

Правило 2. Если в сделке все расходы предшествуют всем до­ходам и

итоговая сумма поступлений превосходит итоговые затраты, то уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень.

Пример 5.1. Пусть сделка определяется потоком наличности

Исследовать существование доходности данной сделки.

Решение. Воспользуемся правилом 1 и вычислим итоговые суммы­:

Таким образом, последовательность

имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем положительные), причём . Сделка имеет доходность.

Пример 5.2. Пусть сделка определяется потоком наличности . Исследовать существование её доходности.

Решение: В данном случае все расходы хронологически предшествуют

всем доходам (капиталы с отрицательным законом соответствуют расходам), причём общая сумма доходов (5+17+3=25) больше общей суммы расходов (6+1+8=15). Следовательно, по правилу 2 сделка имеет доходность.

Пример 5.3. Инвестор вкладывает в дело 700 у. д. е. в данный момент, 300 у. д. е. через 3 года. Ещё через 1 год получает 200 у. д. е., затем через 2 года вкладывает 300 у. д. е. и после этого через 1 год получает 2 500 у. д. е. Найти внутреннюю норму прибыли, если она существует, данной сделки с точностью .

Решение: Данная сделка характеризуется следующим потоком наличности:

,

.

Составим уравнение стоимости:

Упростим данное уравнение, умножив обе его части на множитель и сократив на 100:

Согласно правилу 1, доходность данной сделки существует. Найдём её. Воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:

.

Решение уравнения будем искать при . Найдём вначале интервал, на концах которого функция принимает значение противоположных знаков. Тогда, как известно, корень находится внутри найдённого интервала. Такой интервал находится подбором.

Например,

Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять

(0; 0.5). Найдём середину этого интервала и вычислим значение функции в этой точке:

.

Теперь из двух интервалов (0; 0.25) и (0.25; 0.5) выберем тот, на

концах которого функция принимает значение различных знаков. Этот интервал (0; 0.25). Повторяя это процесс, выберем середину последнего интервала и найдём .

Аналогично, новый интервал, будет (0,125; 0,25). Возьмём его середину

.

Тогда и новый интервал будет (0,125; 0,188) . Его середина . Далее, , новый интервал (0,125; 0,156), его середина . Далее, , новый интервал (0,14; 0,156). Решим теперь вопрос о точности вычисления и, тем самым, о прекращении указанного процесса. На концах интервала (0,14;0,156) функция принимает значения разных знаков, следовательно, . Кроме того, длина данного интервала равна 0,016. Поэтому, если в качестве приближённого значения взять середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то есть меньше 0,008 и, следовательно, меньше заданной точности . Итак,

Доходность сделки равна 15 %.

БАДЮКОВ ВЛАДИМИР ФЁДОРОВИЧ

СЕРКИН МАКСИМ ЮРЬЕВИЧ

ВВЕДЕНИЕ В

АКТУАРНЫЕ РАСЧЁТЫ

Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине

«Актуарные расчёты» для студентов 3 – 5-го курсов специальности "Финансы и кредит" заочной формы обучения

Редактор Г. С. Одинцова

Подписано к печати_____________________. Формат 60х84/16.

Бумага писчая. Офсетная печать. Усл.п.л. 2,1. Уч-изд.л.1,5._

Тираж 50 экз. Заказ_____________________________