- •Введение
- •1. Содержание раздела "Введение в актуарные расчёты "
- •Решить следующие задачи на сложные проценты
- •Решить следующие задачи, используя понятие силы процента
- •Решить следующие задачи на тему "Потоки наличности"
- •3.2. Сложные проценты
- •3.3. Сила процента
- •Дискретный поток наличности определяется моментами времени и вложениями (выплатами или поступлениями)денег
- •3.5. Уравнение стоимости
- •680042, Г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, риц хгаэп
Дискретный поток наличности определяется моментами времени и вложениями (выплатами или поступлениями)денег
Непрерывные потоки определяются нормой вложений :
,
где – накопление капитала за время .
Текущая стоимость на момент времени для дискретного потока наличности равна
<
для непрерывного – , (4.2)
где дисконтирующий множитель, определяемый формулой (3.7).
Пусть – текущая стоимость потока наличности на момент времени . Тогда текущая стоимость данного потока наличности на момент времени находится по формуле
. (4.3)
Пример 4.1. Пусть
в год. Найти текущую стоимость на момент непрерывно потока наличности за 5 лет при норме в год начиная с момента времени
Решение: Найдём вначале дисконтирующий множитель
а) при
б) при
.
Итак,
По формуле (4.2)
Пример 4.2. Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в размере 100 у. д. е. в конце каждого года пожизненно с правом наследования, если сила процента равна 7 % в год.
Решение: Данную ренту можно рассматривать как поток наличности, определяемый равенствами
где .
Цена ренты равна текущей стоимости данного потока наличности на момент времени . Согласно формуле (4.1)
. (4.4)
Выражение (4.4) есть сумма убывающей геометрической прогрессии, то есть
.
Пример 4.3. Необходимо уплатить 750 у. д. е. 1 января 2011 года, 1000 у. д. е. 1 января 2012 года и 1 500 у. д. е. 1 июля 2013 года. Полагая силу процента постоянной и равной 10 % в год, найти стоимость платежей на а)1января 2010 года; б) 1 марта 2012 года.
Решение: По формуле (3.9)
а)представим данную сделку как поток наличности:
.
Тогда по формуле (4.1)
б) воспользуемся формулой (4.3):
.
Пример 4.4. Найти накопленную стоимость трёх ежегодных выплат в размере 1 000 у. д. е., если первая выплата производится в момент .
Сила процента определяется формулой Студли с параметрами
.
Решение: Найти текущую стоимость потока на момент .
Сделаем перерасчёт по формуле (4.3)
.
В случае формулы Студли величина находится из равенства (3.11):
.
Выполнив расчёты, получим: .
Рассмотрим задачу о процентном доходе, когда начальный инвестированный капитал не меняется, но идёт непрерывное накопление процентов с при заданной силе процента .Тогда сумма
процентного дохода за время от до находится по формуле
, (4.5)
а текущая стоимость на момент -
,
где дисконтирующий множитель определяется равенством
.
При постоянной силе процента
(4.6)
Пример 4.5. Инвестор вкладывает в банк сумму 1 000 у. д. е. под процентный доход 1 января 2012. Найти сумму процентов на 1 марта 2009 года, если сила процента
в год.
Решение: По формуле (4.5) имеем
Пример 4.6. Инвестор вкладывает 1 500 у. д. е. в момент времени
под процентный доход и желает получить сразу сумму процентного дохода за первые пять лет. Найти эту сумму, если сила процента постоянна
и равна 12 % в год.
Решение: По формуле (4.6) найдём текущую стоимость на момент процентного дохода за 5 лет:
.