- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Корень знаменателя,
- •Соответствующего очередному коэффициенту,
- •Подставляем в первоначальную дробь,
- •Из которой этот знаменатель вычеркнут.
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
I. Основы интегрирования
§ 1. Табличное интегрирование
Функция называетсяпервообразной для функции, еслиили. Например,– первообразная для, поскольку.
Неопределённый интеграл для функции – это множествовсех её первообразных: . КонстантаC подчёркивает, что первообразных для одной и той же функции бесконечно много, но они отличаются только на постоянное число. Например,
,
поэтому общий вид первообразных для функции – это. Значит,.
Аналогично , поскольку не только, но и
, и т.д.
Простейшая таблица неопределённых интегралов
1) , |
7) , |
2) , |
8) , |
3) , |
9) , |
4) , |
10) , |
5) , |
11) , |
6) , |
где в интегралах 8 – 10 . |
Эти интегралы называют табличными. Ни один из них не приводится к другому, но любой интеграл, не учтённый в таблице, либо сводится разными методами к указанным, либо вовсе не выражается в элементарных функциях.
Трудность интегрирования по сравнению с дифференцированием связана со значительно меньшим набором свойств и правил. Так, справедливы арифметические свойства интегралов
;
для любого действительного числа,
однако нет (и не может быть) никаких общих формул для интеграла от произведения, частного, а также от сложной функции.
Более того, небольшое изменение функции под знаком интеграла (подынтегральной функции) может заметно изменить ответ или даже метод решения. Сравните интегралы
а) , б),
в) ,
г) .
В то же время производные от подынтегральных функций находятся одним и тем же способом и внешне почти совпадают.
Именно поэтому приходится изучать разные методы интегрирования.
Основное правило табличного интегрирования:
Пусть – любые числа и при этом. Если, то
.
Пример 1. Известно (1-й табличный интеграл), что . Тогда
.
Коэффициент a может быть дробным и (или) отрицательным:
.
Вместо 1/1 можно не указывать ничего, вместо –9/1 записывать –9.
Пример 2. По основному правилу табличного интегрирования
, поскольку;
, потому что;
, так как;
(здесь);
;
.
Однако таким способом не найти: аргументнелинеен относительнох (этот интеграл не выражается в элементарных функциях).
Часто встречается ошибка: интеграл находят как. Правильное решение – свести к интегралу 9 из таблицы:
.
Продифференцировав и упростив, получим именно , в то время как
,
и отличие как раз связано с .
Другая ошибка – наоборот, найти как, применив равенство. На самом деле. Правильное решение:.
ТИ1. А) Найдите производную; Б) найдите дифференциал функции;
В) восстановите функцию; Г) найдите интеграл:
|
А |
Б |
В |
Г |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 | ||||
5 | ||||
6 | ||||
7 | ||||
8 | ||||
9 | ||||
10 | ||||
11 | ||||
12 | ||||
13 | ||||
14 | ||||
15 | ||||
16 | ||||
17 | ||||
18 |
Пример 3. Задание ТИ1 удобно решать так:
1) и, как следствие,. Тогдаи соответственно. Также;
2) , потому. Наоборот,, и тогда. Кроме того,;
3) ,. Тогда, и потому. Значит,.
ТИ2. Найдите неопределённые интегралы от дробных функций, разложив дробь на две дроби, упростив и сведя всё к интегралам от степенных функций:
1)
2)
3) .
Пример 4. С учётом арифметических свойств неопределённого интеграла,
а) ;
б) .
ТИ3. Таким же образом, как в задании ТИ2, найдите неопределённые интегралы от дробно-иррациональных функций
1) ;
2) ;
3) .
Пример 5. Разложим дробь на сумму или разность функций, тогда
а)
;
б)
.
Здесь . Также.
ТИ4. Проинтегрируйте сумму или разность функций при помощи двух табличных интегралов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Указание к п. 4 и 5: учтите, что и, и сведите всё к одной функции – кили.
Пример 6. Легко убедиться, что
а) ;
б)
.
При интегрировании дробно-рациональных функций следует помнить, что
; ;,
и т.п., что нетрудно проверить, взяв производную. На самом деле
; ;,
что тоже проверяется дифференцированием. Также см. Замечание на стр. 6.
ТИ5. Найдите интегралы от функций
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Пример 7. Согласно таблице интегралов,
а) ; б).
ТИ6. Проинтегрируйте, избавившись от коэффициента перед квадратом:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Пример 8. Вынесем коэффициент за скобку, а затем за знак интеграла:
а) ;
б).
ТИ7. Найдите интегралы
1) ;
2) .
Пример 9. По таблице находим, что
а) , где;
б) (знак перед числом 3 ни на что не влияет).
ТИ8. Избавившись от коэффициента перед квадратом, найдите интегралы
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Пример 10 (здесь ).
а) ;
б).
ТИ9. На основе интеграла (при) найдите
1) ;
2)
3) ;
4) .
Пример 11. Задание ТИ9 решается так:
а) ;
б) ;
в)
;
г)
.
ТИ10. Зная, что , найдите
1) ;
2) .
Пример 12. По основному правилу табличного интегрирования
а) – логарифм знаменателя делим на коэффициент перед переменной;
б) .
ТИ11. Учитывая, что , найдите
1) ;
2) .
Пример 13. Проверьте дифференцированием, что
а) (здесь);
б) .
ТИ12. На основе интеграла найдите
.
Пример 14. .
ТИ 13. С учётом формулы найдите
.
Пример 15. .
ТИ14. Зная, что , найдите
.
Пример 16. .
ТИ15. Учитывая формулу , найдите
.
Пример 17. .
ТИ16. На основе табличного интеграла найдите
.
Пример 18. При помощи производной можно проверить, что
а) ;
б) .
ТИ17. На основе табличного интеграла найдите
.
Пример 19. Легко видеть, что
а)
б) .
ТИ18. Зная, что , найдите
.
Пример 20. .