- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Корень знаменателя,
- •Соответствующего очередному коэффициенту,
- •Подставляем в первоначальную дробь,
- •Из которой этот знаменатель вычеркнут.
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 5. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид где– любые функции. Цель её применения – получить интеграл проще исходного и найти его каким-либо способом (например, как табличный).
В качестве берётся функция, производная которой выглядит проще, чем сама. Таким свойством обладают логарифмы и обратные тригонометрические функции. Если их нет под знаком интеграла, то обычно– полином.
Оставшаяся часть подынтегрального выражения принимается за и от неё берётся интеграл, чтобы восстановить функцию.
Реже применяются формулы , а также
, где .
Пример 1. Выбираем, тогда. Необходимо найтии:
, .
Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Интеграл от уже известен и равен. Значит,
.
Ответ: (вынесли общий множитель и упростили).
Пример 2. Выбираем, тогда,
, .
Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Поскольку , получаем
Ответ: , или.
Пример 3. Пусть, тогда, далее
, .
По той же формуле интегрирования по частям
.
Но , и тогда, с заменойнаС,
Ответ: .
Обратите внимание, что константа при интегрировании по частям пишется только на последнем шаге.
ИЧ1. Найдите интегралы
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
ИЧ2. Найдите интегралы, дважды выполнив интегрирование по частям:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 4. Найдём . Выбираем, тогдаи, поэтому
.
Новый интеграл также находится по частям. Теперь , соответственно, и тогда (подразумеваяв будущем ответе)
.
Подставим этот результат вместо в равенство, полученное на 1-м шаге:
.
Если вынести за скобку и упростить, получим
Ответ: .
Пример 5. Чтобы по частям найти , выбираеми, тогда. Значит,
,
что равносильно .
Теперь берём , тогда. Отдельно находим новый интеграл
.
Но , и поэтому
,
где . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что
,
или, после необязательных упрощений, окончательный
Ответ: .
ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие и:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 6. Найдём , для чего запишем его как. Под знаком интеграла есть логарифм, именно его следует взять в качествеU: . Тогда.
Находим , также, тогда
.
Далее .
Ответ: .
Пример 7. Найдём . Берёми, очевидно,(постояннуюC не пишем). Кроме того, , тогда
,
где интеграл можно найти так:
.
Удобно запомнить, что при любом. Итак,
Ответ: .
Более сложные интегралы вида приобычно находят так:
1) заменой сводят к интегралу;
2) выбирают ,;
3) по частям приходят к интегралу ;
4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.
§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
Иногда возникают следующие ситуации:
а) перед интегрированием по частям необходимо заменить переменную;
б) замена переменной необязательна, но упрощает или ускоряет интегрирование по частям;
в) интеграл можно найти как по частям, так и заменой переменной.
Пример 1. Пусть, тогда,и, после чего.
Интеграл легко берётся по частям:, поэтому
.
Пример 2. Найдём . Обозначим, откуда,и. Тем самым, где.
Интегрируя по частям, получим, что .
Значит, .
ЗС1. Заменив переменную и проинтегрировав по частям, найдите
1) ;
2) .
Пример 3.
1-й способ. Заменим , тогда, и поэтому
.
Но , и тогда.
2-й способ. Обозначим , тогда. Находим, а также
.
По формуле интегрирования по частям
.
Поскольку , то
.
Результаты после упрощения отличаются только числом, что объясняется произвольным характером постоянной С.
Пример 4. Найдём заменой, а затем – по частям.
1-й способ. Заменим , тогда. Подставим:
.
Но , поэтому
.
2-й способ. Выбираем ,, тогдаи. Подставим в формулу интегрирования по частям:
.
Упростим, чтобы сравнить с тем, что получено ранее:
.
Результаты совпадают.
ЗС2. Найдите интегралы двумя способами – по частям и заменой переменной. Сравните результаты. Оцените, какой способ проще или удобнее:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 5. Интеграл можно найти по частям, взяви:
.
А можно заменить , тогдаи, и потому.
Взяв и соответственно, применяем интегрирование по частям:
.
Но и, и, возвращаясь к старой переменной, получаем тот же ответ.
Пример 6. Интеграл можно найти по частям:
,
а можно заменить , а также, и тогда.
Этот интеграл также известен:
.
Но , а, и ответ совпадёт с полученным выше.
Пример 7. Найдём интеграл вначале непосредственно по частям, а затем – также по частям, но после предварительной замены.
1-й способ. Пусть , тогда,,, и
.
2-й способ. Заметим, что , и обозначим. Тогдаи, с учётом этого,.
Взяв , получаем, что, а такжеи.
По формуле интегрирования по частям
.
Но и по свойствам логарифма, поэтому ответы одинаковы.
ЗС3. Найдите интегралы непосредственно по частям, а затем по частям, но предварительно заменив переменную:
1) ;
2) .