§ 9. Понятие несобственного интеграла

При моделировании некоторой ситуации на неопределённо долгий срок (например, при определении оптимального долгосрочного накопления) появляются интегралы с бесконечно большим верхним пределом. В этом случае применение формулы Ньютона-Лейбница становится не совсем корректным:

, где

Решение проблемы – в переходе к пределу:

.

Если предел существует и конечен, интегралсходится и равен некоторому числу; если предел не существует или бесконечен, интеграл расходится.

Интегралы по неограниченной области называют несобственными интегралами 1-го рода.

Пример 1. Найдём . Перейдём к пределу:

.

Интеграл сходится и равен 1 (сходится к числу 1).

Пример 2. Чтобы найти , переходим к пределу:

.

Величина не играет роли: интеграл расходится и бесконечен.

Пример 3. Решение:

.

Поскольку величина не определена (грамотнее вообще не записывать её в решении), интеграл расходится: он принимает значения от –1 до +1, возвращаясь к каждому из них через очередныеед. по осиOX.

Фактически, во всех трёх примерах применялась формула Ньютона-Лейбница и в первообразную подставляли бесконечность, однако запись вида

считается не совсем грамотной. Тем не менее ей можно пользоваться для чернового решения вопроса.

Пример 4. Решение, справедливо не гарантирующее хорошей оценки:

,

но дающее верный ответ: интеграл сходится к значению .

НС1. Найдите значение или установите расходимость интегралов:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г); д);

5) а) ; б); в); г); д).

При исследовании несобственных интегралов можно выполнять те же действия, что при вычислении обычных.

НС2. При помощи замены переменной или интегрирования по частям проверьте сходимость интегралов:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д).

Можно увидеть, что необходимое условие сходимости интеграла – это условие. Поэтому, если при бесконечно большом аргументе функция не стремится к 0, интеграл заведомо расходится. Если же функция стремится к 0, весь вопрос в том, насколько быстро это происходит.

Задача. Выясним, при каких p сходится интеграл .

Если , то– интеграл расходится. Если же, то

.

Предел существует и конечен, если– в этом случае бесконечность остаётся в знаменателе и предел равен 0.

Ответ: интеграл равен прии расходится при.

Иногда бесконечен не верхний, а нижний предел интегрирования (например, при изучении инвестиций, сделанных в прошлые годы):

.

Реже встречаются интегралы по всей числовой оси .

Несобственными интегралами 2-го рода называют интегралы от функций, неограниченных в одном из концов отрезка интегрирования. Для их вычисления также переходят к пределу:

Пример 5. Поскольку функции не существуют в одном из концов отрезка,

а) ;

б) .

Такие интегралы в экономике возникают редко и более характерны для исследований в области астрофизики и геологии.

62