§ 2. Подведение под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.

Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,

а) в интеграле числительx похож на производную от :;

б) интеграл можно представить как, где;

в) функция в интеграле– это .

Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов

а) если , то, тогдаи, откуда

;

б) поскольку , то, тогдаи, поэтому

.

Более подробно метод замены изложен в § 4.

Однако вычисление 3-го интеграла при помощи замены уже связано с трудностями. Пусть, заметив, что , мы заменили.

Тогда и. Выразитьчерезt можно так:

(, поэтому). Подставим:

.

В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.

Действительно, есть более короткое решение:

,

тогда, заменив , сразу получаем интеграл

.

Таким же образом можно было найти интегралы

а)

;

б) .

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

;	;	;	;
	;	;	;
;	;	;	.

Примеры подведения под знак дифференциала

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

ПД1. Найдите интегралы

1) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

2) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

3) а) ; б); в); г); д)

е) ; ж); з); и); к);

4) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к);

5) а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и); к).

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение

При интегрировании функций, содержащих выражение , поможет формула . Например,

а) ;

б) ;

в) .

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

,

а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,

; .

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого , поскольку интегралы, содержащие только, находятся проще, и часто – по таблице. При этом важно помнить, что,, и т.п.

А именно (см. § 2),

;

;

,

где a – любое число, и число . Кроме того, при

;

,

где .

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы ,или. Их можно найти так:

,

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида достаточно сложны. Воспользуйтесь готовыми формулами

;

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства и замены:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 1 (для краткости обозначено как.

а) ;

б) .

При поиске иучли, чтоисоответственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Пример 2. Найдём интеграл , разложив на сумму двух:

.

Ответ: (модуль не нужен, поскольку всегда).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл :

.

Рациональнее всего найти интегралы так:

а) ,

где учли, что ;

б) .

Тогда , где.

Ответ: .

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа (, и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константуC в ответе. При этом всегда C – некая линейная комбинация .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Заметив, что

,

заменяем , тогдаи.

Подставим в интеграл:

.

Пример 5.

Поскольку , можно сделать замену, при которойи. Подставим:

.

Пример 6.

Здесь , заменяем, откудаи. Подставим:

,

где . Разобьём интеграл на два:

.

Так же, как в предыдущих примерах,

,

а 2-й интеграл – табличный: .

Итак, , где. Тем самым

.

Пример 7.

Теперь , замена, поэтомуи.

Переходим к интегралу от новой переменной:

,

где .

Найдём отдельно

а) ;

б) ;

в) (табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:

.

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 8. Найдём . Похожий интеграл без корня уже найден выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

,

где . Разбиваем

и находим

а) ;

б) .

Таким образом, , где.

Ответ: .

Пример 9. Полный квадрат удобно получить так:

,

где . Тогда

.

Заменим . При этоми:

.

Действуем так же, как в примере 8:

а) ;

б) ,

.

Ответ: .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицательный общий множитель: ;, и т.д. В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.

Пример 10. Посмотрим, что изменится, если в примере 9 поставить квадрат: найдём. Теперь после тех же замен окажется, что

.

Как обычно,

,

и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:

;

.

Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:

,

где снова , а

.

Новый интеграл находят или тригонометрической подстановкой , или повторным интегрированием по частям, взяви. Воспользуемся готовой формулой(стр. 19):

.

Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:

,

в ответе приведём подобные слагаемые.

Ответ: .