Корень знаменателя,

Соответствующего очередному коэффициенту,

Подставляем в первоначальную дробь,

Из которой этот знаменатель вычеркнут.

Таким образом,

в точке, т.е.;

в точке, т.е.;

в точке, т.е..

Поместим A, B, C не в числителях, а перед дробями:

.

Значит, .

Все интегралы – простейшие и находятся по таблице, поэтому

.

Ответ: а) ;

б) .

Пример 2. Пусть для дроби указаныm = 2, n = –5, p = 1 и тем самым дана дробь . Все множители – линейные скобки, поэтому

.

Корни знаменателей: . По аналогии с примером 1:

в точке;

в точке;

в точке.

Итак, , и соответственно

.

По таблице основных интегралов находим, что

.

Ответ: а) ;

б) .

Пример 3. Пусть для дроби даны параметрыm = 1, n = 0, p = –3. Раскладываем дробь . Множители в знаменателе линейны, но один из них –в квадрате. В этом случае

.

Скобке, стоящей в квадрате, всегда соответствуют 2 дроби. Знаменатель одной из них – это скобка в 1-й степени, знаменатель другой – та же скобка в квадрате.

Корни знаменателей . КоэффициентыA и C можно найти методом вычёркивания:

в точке;

в точке

(поиск C требует умножения первоначальной дроби на , а не на).

Коэффициент B вычёркиванием найти нельзя – возникнет деление на 0.

Чтобы найти B, представим, что будет, если свести всё к общему знаменателю:

.

Достаточно увидеть, что в числителе появится , или, а по условию в числителе стоитс коэффициентом 1. Значит,. Подставим:, откуда. Итак,

,

и тогда

.

Здесь , остальные интегралы – табличные и находятся так же, как в примерах 1 и 2.

Ответ: а) ;

б) .

Замечание. Коэффициент B можно найти и другими способами.

Так, можно увидеть, что после приведения к общему знаменателю в числителе появится , а в числителе первоначальной дробиx в первой степени отсутствует (т.е. стоит 0x). Тогда из уравнения приитакже получается.

Наконец, можно взять любое число, отличное от уже использованных значений и, например,, и подставить его в основное равенство:

,

что равносильно . Посколькуи, из уравнениянаходим.

Любой верный способ даёт одно и то же значение коэффициента.

Пример 4. Разложим дробь . В знаменателе одна из скобок – в квадрате. В этом случае, по аналогии с примером 3,

.

Так же находим

при, а именно;

при:.

Чтобы найти A, возьмём любое значение x, кроме –3 и 2, например, , и подставим в разложение дроби, учитывая, чтои:

.

После упрощений , или. Значит,(значение точное). Итак,.

Тогда , интегралы находятся так же, как в примере 3.

Ответ: а) ;

б) .

Пример 5. Разложим дробь и проинтегрируем. Один из множителей знаменателя – квадратичное выражение. Согласно общей схеме, в числителе соответствующей дроби пишется не просто коэффициент, а линейная функция относительноx:

.

Методом вычёркивания можно найти только C:

при .

Можно быстро найти A, если заметить, что в числителе исходной дроби нет слагаемого с , а в правой части основного равенства приведение к общему знаменателю даёт:

.

Тогда , откуда.

Коэффициент B также легко найти, если увидеть, что после того же приведения остаются свободные коэффициенты , а в исходной дроби стоит свободный коэффициент –7.

Поэтому , или, и тогда. Получили разложение

.

Значит,

.

Как показано ранее (например, в § 2),

.

Остальные интегралы – табличные.

Ответ: а) ;

б)

(модуль заменили простыми скобками, поскольку всегда ).

В следующем примере просто подставим числа и решим уравнения.

Пример 6. Проинтегрируем . Заметим, что, поэтому

.

Находим – как в предыдущих примерах. Далее подставим, затем:

;

.

Умножим 1-е уравнение на 9, а 2-е – на –9:

Вычитая одно уравнение из другого, замечаем, что , и тогда.

Коэффициент A известен, выгодно выразить и подставить. Тем самым.

Итак,

, соответственно

.

Ответ: а) ;

б) .

Замечание. В примере 6 получается довольно простая система уравнений. Иногда выгоднее заменить дроби на десятичные, например,

(где ), подставитьи перенести полученные числа вправо:

(например, методом Крамера).

ИД2. Проинтегрируйте дробь , где числительуказан, разложив её на суммупри заданных значенияхa, b, c:

1) ;

а) a = 0, b = 1, c = 2; б) a = 0, b = 1, c = –1; в) a = 0, b = 2, c = 3;

г) a = 1, b = 2, c = 3; д) a = 1, b = 2, c = –3; е) a = –1, b = 2, c = 3;

ж) a = 2, b = –2, c = 1; з) a = 2, b = –2, c = –1; и) a = 3, b = 4, c = 5;

к) a = 3, b = 4, c = –5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = –1, b = –3, c =–5;

2) ;

а) a = 1, b = 2, c = 3; б) a = 1, b = 2, c = –3; в) a = 1, b = –1, c = 2;

г) a = 1, b = –1, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = –2; е) a = 1, b = –2, c = 3;

ж) a = 2, b = 3, c = –4; з) a = 2, b = –3, c = 4; и) a = 3, b = 4, c = –3;

к) a = 3, b = 4, c = –4; л) a = 1, b = 3, c = 5; м) a = 1, b = 3, c = –5;

3) ;

а) a = 0, b = 1, c = –1; б) a = 1, b = –1, c = 2; в) a = 1, b = 2, c = –2;

г) a = –1, b = 2, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = 3; е) a = 1, b = 2, c = –3;

ж) a = 1, b = –2, c = 3; з) a = 1, b = –2, c = 3; и) a = –1, b = –2, c = 3;

к) a = 3, b = 4, c = 5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = 3, b = 4, c = –5.

ИД3. Проинтегрируйте дробь , где числительуказан, разложив её на суммупри заданных значенияхa, b:

1) ;

а) a = 0, b = 1; б) a = 0, b = –1; в) a = 1, b = 0; г) a = –1, b = 0;

д) a = 1, b = –1; е) a = –1, b = 1; ж) a = 0, b = –2; з) a = 2, b = 0;

и) a = 1, b = 3; к) a = 3, b = –1; л) a = 3, b = –4; м) a = 4, b = –5;

2) при тех же значенияхa, b, что в задании 1;

3) при тех же значенияхa, b, что в заданиях 1 и 2.

ИД4. Проинтегрируйте дроби , разложив на сумму дробейпри разных числителяхи одних и тех же значенияхa, b:

1) ;

а) a = 1, b = 0; б) a = 1, b = 1; в) a = 1, b = –1; г) a = 1, b = 2;

д) a = 1, b = –2; е) a = 2, b = 0; ж) a = 2, b = 1; з) a = 2, b = –1;

и) a = 2, b = 2; к) a = 2, b = –2; л) a = 4, b = 3; м) a = 4, b = –3.

2) при тех же значенияхa, b, что в задании 1;

3) при тех же значенияхa, b, что в заданиях 1 и 2.

ИД5. (*) Проинтегрируйте дроби, разложив их на элементарные. Если необходимо, предварительно получите целую часть и правильную дробь:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д).