§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций

Рациональная дробь – это отношение двух полиномов (многочленов)

и .

Дробь правильная, если . Если, дробьнеправильная, и её можно представить как сумму некоторого полинома и правильной дроби. Например,

.

Элементарными называют дроби 4 видов:

,

где – целое число, и(иначе дробь 3-го вида распадается на сумму двух дробей 1-го вида).

Элементарность означает, что дробь невозможно разложить на сумму более простых рациональных дробей. Неэлементарную, но правильную дробь всегда можно разложить на сумму элементарных:

;, и т.п.

Итак,

– любая дробь – или правильная, или неправильная;

– неправильная дробь равна сумме полинома и правильной;

– правильная дробь равна сумме элементарных дробей.

Интегралы от элементарных дробей находят по стандартным схемам:

1) ;

2) ;

3) заменойприводит к сумме первообразных видаис некоторыми коэффициентами.

Дробь 4-го типа интегрируется, но сложно, и здесь не рассматривается.

Далее показано, как разложить дробь в простых случаях. За основу взят метод «вычёркивания». Общая схема разложения и универсальный метод неопределённых коэффициентов довольно громоздки, их можно найти в литературе (и также в конце § 7). При решении применяют любой способ поиска неопределённых коэффициентов – или более понятный, или более короткий.

ИД1. В заданиях 1 – 6 найдите числа A, B, C в разложении дроби на сумму элементарных, в зависимости от видаи от значенийm, n, p, а затем проинтегрируйте полученную сумму:

1) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 0, n = 2, p = –3; д) m = 3, n = 0, p = –2; е) m = –1, n = 3, p = 0;

ж) m = 1, n = 1, p = –1; з) m = 0, n = 2, p = –8; и) m = 1, n = 0, p = –9;

к) m = 1, n = 2, p = 0; л) m = 1, n = –1, p = –12;

2) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 0, n = 0, p = 5; д) m = 1, n = –2, p = 0; е) m = 1, n = 0, p = 4;

ж) m = 0, n = 5, p = –3; з) m = 1, n = 2, p = –3; и) m = –1, n = 0, p = 1;

к) m = 0, n = 8, p = –24; л) m = 3, n = 0, p = –4;

3) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 1, n = –1, p = 0; е) m = 3, n = –10, p = 0;

ж) m = 0, n = 2, p = 5; з) m = 1, n = –2, p = 3; и) m = –1, n = 0, p = 2;

к) m = 0, n = –7, p = 6; л) m = 6, n = 0, p = –7;

4) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 0, n = 2, p = 3; д) m = 0, n = 3, p = 2; е) m = 2, n = –3, p = 4;

ж) m = –1, n = 5, p = 0; з) m = 1, n = 2, p = 0; и) m = 1, n = 0, p = –9;

к) m = 2, n = 3, p = 0; л) m = 0, n = 25, p = 10;

5) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 0, n = 4, p = 5; д) m = 4, n = 0, p = 5; е) m = 2, n = 3, p = 0;

ж) m = 1, n = 0, p = –4; з) m = –1, n = 2, p = 0; и) m = 0, n = 3, p = –1;

к) m = 3, n = 0, p = –1; л) m = 1, n = 3, p = 0;

6) ;

а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;

г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 0, n = 1, p = 1; е) m = 0, n = 1, p = –1;

ж) m = 1, n = 1, p = 0; з) m = 3, n = 0, p = 2; и) m = 1, n = 0, p = –16;

к) m = 1, n = 4, p = 0; л) m = 1, n = –4, p = 0.

Пример 1. Пусть для дроби указаны параметрыm = 3, n = 0 и p = –5. Тем самым дана дробь , или.

Когда все множители в знаменателе – линейные скобки, дробь раскладывается так, как указано в заданиях 1 и 2:

.

Задача – подобрать коэффициенты , чтобы равенство выполнялось при любом значенииx (при котором знаменатель не обращается в 0).

Это можно сделать методом «вычёркивания», для чего