Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов

Если дробь сложна, содержит несколько квадратичных или кратных скобок, метод вычёркивания неэффективен и приходится применять общий метод.

Пример 7. Проинтегрируем дробь . Она раскладывается так:

.

Приведём к общему знаменателю:

.

Для совпадения дробей нужно, чтобы числители совпадали. Раскроем скобки:

;

;

.

Соберём справа вместе слагаемые «с одинаковой степенью»:

,

и вынесем степени за скобки:

.

Как известно из алгебры, два полинома совпадают при любом значении переменной, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому получается следующая система уравнений:

Решая систему любым способом, находим, что . Значит,

.

Поэтому

.

Сами по себе интегралы хорошо известны и неоднократно найдены в пособии.

Ответ: .

Основные трудности общего метода – раскрытие скобок и решение системы уравнений. Решение немного упростится, если всё-таки найти методом вычёркивания, что .

§ 8. Определённый интеграл

Формула Ньютона – Лейбница

, где

позволяет свести вычисление определённого интеграла к поиску первообразной и подстановке в неё пределов интегрирования.

Для поиска первообразной можно применять любые свойства и методы – разбивать интеграл на сумму интегралов, интегрировать по частям и т.п. Однако при замене переменных следует либо пересчитывать пределы интегрирования, либо возвращаться к начальной переменной.

Если первообразная выглядит как сумма слагаемых, т.е. , надёжнее подставлять пределы интегрирования отдельно в каждое из них:

,

чем полностью в сумму:

,

особенно если возникает много отрицательных или дробных составляющих.

ОИ1. Найдите определённые интегралы

а) ; б); в);

г) ; д); е);

ж) ; з); и).

Пример 1 (с применением арифметических свойств интеграла):

.

ОИ2. Найдите определённые интегралы

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г); д);

5) а) ; б); в); г).

Пример 2 (вынесение множителя):

.

Пример 3 (применение основного правила табличного интегрирования):

.

ОИ3. Найдите определённые интегралы

1) а) ; б); в);

г) ; д); е);

2) а) ; б); в);

г) ; д); е).

Пример 4. Вынесем коэффициент и сведём интеграл к табличному:

.

Пример 5. Здесь сразу получается полный квадрат:

.

Вычисление площади плоской фигуры

Если фигура на плоскости ограничена графиками функций ,и вертикальными линиямии, причёмво всех точках отрезка, то площадь фигуры совпадает с интегралом.

Здесь указано для определённости, если же навсегда, то площадь совпадает с интегралом.

Можно считать, что всегда от уравнения «верхней кривой » отнимают уравнение «нижней кривой».

Если отрезок не указан, подразумевается, что графики образуют фигуру, пересекаясь в 2 точках. Тогда точки надо найти из уравнения.

Во всех остальных случаях (пересечение менее или более чем в 2 точках, разное соотношение между функциями и т.п.) задача о площади поставлена некорректно. Без дополнительных условий её решить невозможно.

ОИ4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и графиком указанной функции. Сделайте чертёж:

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

ОИ5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертёж:

1) а) ; б);

в) ; г);

2) а) ; б);

в) ; г);

3) а) ; б);

в) ; г).

Пример 6. Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками функций и.

1-й шаг. Приравниваем: , откудаи. Значит,, и точки пересечения – этои. Значения функций:

(можно найти и);

(также).

Совпадение вызвано чётностью обеих функций.

2-й шаг. Строим графики функций (рисунок 1). Поскольку и, на участкеграфик функциипроходит выше графика функции. Поэтому при составлении интеграла от отнимаем, а не наоборот.

Рисунок 1

3-й шаг. Площадь фигуры

.

4-й шаг. Вычисляем интеграл

..

5-й шаг. Площадь фигуры равна 72 кв. ед. Результат правдоподобен – фигура достаточно велика.

Ответ. Площадь фигуры – 72 кв.ед.

Пример 7. Найдём площадь фигуры, образованной линиями и.

1-й шаг. Из равенства , или, находим корнии.

2-й шаг. Ординаты точек пересечения и (можно найти , нопроще считать). При вычислении площади эти числа не играют роли, но помогают построить графики. Подставив точки из интервала в функции, видим, что прямая проходит над параболой. Строим чертёж (рисунок 2).

Рисунок 2

3-й шаг. Площадь фигуры

.

4-й шаг. Вычисляем интеграл

.

5-й шаг. Площадь фигуры составляет кв. ед., или около 20,83 кв.ед.

Ответ. Площадь фигуры – 20,83 кв.ед.

ОИ6. Найдите площадь фигуры, образованной осью абсцисс (ОХ), графиком указанной функции и вертикальными линиями,, проходящими через точки экстремума. Сделайте чертёж.

1) а) ; б); в);

2) а) ; б); в);

3) а) ; б); в).

Пример 8. Пусть фигура ограничена осью абсцисс (ось ОХ, или ), графиком функциии вертикальными прямыми, проходящими через точки экстремума этой функции. Найдём площадь такой фигуры.

1-й шаг. Берём производную , находим её корни:, откуда, и тогдаи– точки экстремума.

2-й шаг. Убедимся, что на участке функция не меняет знак, иначе придётся искать кореньфункции и разбивать фигуру на 2 части:

;,

знак одинаков. Это гарантирует, что функция положительна на всём участке – иначе точка минимума, в которой, была бы не самой нижней на на интервале, что невозможно. Итак, разбивать фигуру (отрезок) не нужно.

Замечаем, что . В силунепрерывности функции это означает, что– точка максимума, а– точка минимума. (у разрывных функций максимум может быть ниже минимума).

3-й шаг. Площадь фигуры .

4-й шаг. Находим, что .

5-й шаг. Площадь фигуры составляет 49,5 кв.ед.

Рисунок 3 – Схематичный чертёж параболы