10.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Плоскость, проходящая через точку и через прямую

не проходящую через представляется уравнением

Рассмотрим пример. Плоскость, проходящая через точку и прямую

представляется уравнением

т.е.

Плоскость, проходящая через точку и параллельная данным прямым и представляется уравнением

где направляющие коэффициенты данных прямых.

Пусть и– непараллельные прямые. Тогдаплоскость, проходящая через прямую и параллельная прямойпредставляется уравнением

где координаты точкипрямой

Условие параллельности прямой

и плоскости

Условие перпендикулярности прямой

и плоскости

Контрольные вопросы

1. Записать уравнения прямой в пространстве: как пересечение плоскостей; каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Какой смысл имеют коэффициенты этих уравнений?

2. Как найти угол между прямой и плоскостью?

3. Как найти длину перпендикуляра, опущенного на прямую?

Лекция №11. Поверхности второго порядка

11.1. Общая теория поверхностей второго порядка.

11.2. Классификация поверхностей второго порядка.

11.3. Расположение поверхностей второго порядка.

11.1. Общая теория поверхностей второго порядка

Поверхности второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно переменных имеет вид

где

Инвариантами поверхностей второго порядка называются числовые функции, составленные из коэффициентов уравнений, сохраняющие постоянные значения при аффинных преобразованиях системы координат.

Данные инварианты определят свойства поверхности, не зависящие от ее положения в пространстве.

Аффинным преобразованием пространства называется взаимно–однозначное преобразование системы координат, при котором точке , заданной относительно общей декартовой системы координат, ставится в соответствие точкакоординаты которой через координаты точкивыражаются линейными соотношениями

Данные соотношения обладают свойством взаимной однозначности, если определитель системы уравнений является нетривиальным, т.е.

11.2. Классификация поверхностей второго порядка

Все поверхности второго порядка делятся на 17 аффинных сортов. Необходимые и достаточные признаки каждого из них можно свести в таблицу, основанную на их инвариантах.

Таблица 2

Виды поверхностей	Невырожденные поверхности	Невырожденные поверхности	Вырожденные поверхности
Центральные поверхности	Мнимый эллипсоид	Эллипсоид	Точка (действительная вершина мнимого конуса)
Центральные поверхности	Однополостной гиперболоид	Двуполостной гиперболоид	Действительный конус
Нецентральные поверхности	Гиперболический параболоид	Эллиптический параболоид	Цилиндры Пары плоскостей
_	Цилиндры	Пары плоскостей	–
Виды поверхностей	Невырожденные поверхности	Невырожденные поверхности	Вырожденные поверхности
	Мнимый эллиптический цилиндр, если	Пара мнимых плоскостей,пересекающихся по действительной прямой	–
	Действительный эллиптический цилиндр, если	Пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой	–
	Гиперболический цилиндр	Пара действительных пересекающихся плоскостей	–
	Параболический цилиндр	Пара мнимых параллельных плоскостей, если	Пара действительных совпадающих плоскостей
	Параболический цилиндр	Пара действительных параллельных плоскостей, если	Пара действительных совпадающих плоскостей

В этой таблице являются инвариантами относительно поворота осей и определятся следующим образом

Любые две поверхности, принадлежащие к разным классам, никаким аффинным преобразованием не могут быть переведены друг в друга.

Мнимый эллипсоид, мнимый эллиптический цилиндр и две мнимые параллельные плоскости не содержат ни одной точки, значит аффинно не могут быть преобразованы ни в одну из поверхностей остальных аффинных сортов.

Две пересекающиеся плоскости и две совпадающие плоскости отличаются от поверхностей остальных аффинных сортов как единственные, состоящие из плоскостей. Эти свойства сохраняются при любом аффинном преобразовании.

Среди поверхностей остальных аффинных сортов эллипсоид, двуполостной гиперболоид и эллиптический параболоид отличаются от поверхностей других аффинных сортов тем, что не содержат прямолинейных образующих. Эллипсоид поверхность ограниченная, а двуполостной гиперболоид и эллиптический параболоид – поверхности неограниченные. Двуполостной гиперболоид состоит из двух кусков, а эллиптический параболоид из одного куска. Это различие сохранится при любом аффинном преобразовании.

Среди остающихся поверхностей конус отличается от поверхностей остальных сортов тем, что представляет собой поверхность, образованную прямыми, проходящими через одну точку и не лежащими в одной плоскости. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры отличаются тем, что образованы параллельными прямыми. Сечения их плоскостями, не параллельными образующим, будут соответственно эллипсами, гиперболами и параболами. Указанные различия поверхностей сохраняются при любых аффинных преобразованиях.

Однополостной гиперболоид от гиперболического параболоида отличается тем, что первая поверхность имеет центр симметрии, а вторая не имеет центра симметрии. Указанные различия поверхностей также сохраняются при любых аффинных преобразованиях.

Все поверхности второго порядка можно разбить на пять групп по признаку места центров. Необходимые и достаточные признаки принадлежности поверхностей к одной из групп можно свети в таблицу (табл. 3).

Таблица 3

Номер группы	Признак группы
1
2
3
4
5

Определение характера места центров симметрии важно знать для приведения уравнения к каноническому виду. Общее уравнение поверхности может быть приведено к одному из пяти видов

1)

2)

3)

4)

5)

Чтобы привести уравнение поверхности к одному из вышеперечисленных видов, необходимо найти из уравнения

Рассмотрим пример. Уравнение поверхности привести к каноническому виду и определить координаты центра поверхности

Находим

Так как то данное уравнение выражает однополостной гиперболоид.

Характеристическое уравнение

имеет корни

Каноническое уравнение

или

Координаты центра поверхности найдем, решая систему

Центр