47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Плотности распределения непрерывных случайных величин называют законами распределений.

Чаще всего встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины: шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом,имеет равномерное распределение.

Найдем плотность равномерного распределения считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервалена котором функциясохраняет постоянное значение

если

Должно выполняться соотношение

или

График функции будет выглядеть следующим образом (рис. 75).

Рис. 75

Плотность равномерного распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервале

Функция распределения случайной величины распределенной по равномерному закону, есть

Ее математическое ожидание

дисперсия

Покажем, как получились данные формулы.

При

При

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, ошибка округления числа до целого распределена на отрезке в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных равномерному закону распределения.

Рассмотрим пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше половины минуты. Найти случайной величинывремени ожидания поезда.

время ожидания поезда на временном отрезке

47.4. Показательный закон распределения

Показательным законом распределения называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины который описывается плотностью

где т.е. показательное распределение определяется параметромЭто является преимуществом по сравнению с распределениями, зависящими от большого числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки.

Параметром непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последних событий простейшего потока.

Функция распределения показательного закона

Рассмотрим пример. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр

47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью распределения вероятностей

т.е. распределение определяется двумя параметрами

Вероятностный смысл этих параметров: математическое ожидание;среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины

Введем новую переменную

Первое слагаемое равно нулю (так как под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат); второе слагаемое – интеграл Пуассона

т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру

По определению дисперсия непрерывной случайной величины, учитывая, что определяется формулой

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 76).

Рис. 76

Кривая Гаусса

Изменение величины параметра не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к сдвигу вдоль оси вправо, есливозрастает, и влево, еслиубывает. Максимум дифференциальной функции нормального распределения равен

Следовательно, с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убываниинормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси

При любых значениях параметров иплощадь ограниченная нормальной кривой и осьюостается равной единице. Принормальную кривую называют нормированной

Вероятность попадания в заданный интервал

Рассмотрим пример. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожиданиеНайти вероятность того, чтопримет значение, принадлежащее интервалу