- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Фгбоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»
- •Е. В. Бунтова
- •Математика
- •Введение
- •2.1. Формулы Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решение методом обратной матрицы
- •2.4. Элементарные преобразования матрицы
- •2.5. Ранг матрицы
- •3.1. Теорема Кронекера-Капелли
- •3.2. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
- •3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •4.2. Линейные операции над векторами.
- •4.3. Декартова система координат
- •4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме
- •4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
- •4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач
- •5.1. Линейное пространство
- •5.3. Разложение вектора по базису. Линейные пространства
- •6.1. Линейные преобразования
- •6.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •6.3. Свойства собственных векторов матрицы
- •7.1. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости
- •Свойства прямой в евклидовой геометрии.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось в точкеи образующая уголс положительным направлением оси
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •8.1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики
- •8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики
- •8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики
- •8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики
- •8.5. Исследование кривых второго порядка
- •9.1. Плоскость и ее уравнения
- •9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды
- •9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •9.4. Нормальное уравнение плоскости
- •10.1. Уравнение прямой в пространстве
- •10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве
- •10.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •11.1. Общая теория поверхностей второго порядка
- •11.2. Классификация поверхностей второго порядка
- •11.3. Расположение поверхностей второго порядка
- •12.1. Определение функции. Функциональная зависимость. Область определения функции и способы ее задания
- •12.2. Графическое изображение функции. Классификации функций
- •12.3. Числовые последовательности и их роль в вычислительных процессах. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •12.4. Сходимость числовых последовательностей
- •12.5. Предел функции. Односторонние пределы
- •12.6. Основные теоремы о пределах функции
- •13.1. Первый, второй замечательные пределы и их применение к раскрытию неопределенностей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •13.3. Классификация точек разрыва функции
- •14.1. Определение производной функции
- •14.2. Геометрический и механический смысл производной
- •14.3. Основные правила дифференцирования
- •14.4. Производная обратной, параметрически заданной функции
- •14.5. Производная показательно-степенной функции.
- •15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •15.2. Правило Лопиталя
- •15.3. Дифференциал функции
- •15.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •15.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •16.1. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции
- •16.2. Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости графика функции
- •16.3. Асимптоты графика функции
- •16.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных
- •17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков
- •17.3. Теорема о смешанных производных
- •17.4. Производная по направлению
- •18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных
- •18.3. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве
- •18.4. Метод множителей Лагранжа
- •19.1. Первообразная функции
- •19.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •19.3. Таблица основных интегралов
- •19.4. Интегрирование методом замены переменной
- •20.1. Интегрирование по частям
- •20.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •21.1. Интегрирование элементарных дробей
- •21.2. Интегрирование рациональных дробей
- •22.1. Интегрирование методом замены переменной
- •22.2. Интегрирование по частям
- •22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок
- •23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности
- •23.2. Квадратичные иррациональности
- •24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •24.2. Определение определенного интеграла
- •24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема Коши о существовании определенного интеграла
- •24.4. Формула Ньютона-Лейбница
- •25.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •25.2. Физические приложения определенного интеграла
- •25.3. Методы приближенного вычисления определенного интеграла
- •26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •26.3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)
- •27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных
- •27.2. Двойной интеграл и его свойства
- •27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования
- •28.1. Геометрический смысл двойного интеграла
- •28.2. Физические приложения двойного интеграла
- •29.1. Определение криволинейного интеграла
- •29.2. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •29.3. Формула Грина
- •30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости
- •30.2. Модуль и аргумент комплексного числа
- •30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами
- •31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений
- •31.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Понятие об общем и частном решении дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
- •32.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка
- •32.2. Однородные дифференциальные уравнения.
- •33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
- •33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.2. Особенности интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод вариации произвольной постоянной
- •35.1. Нормальная система дифференциальных уравнений
- •35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •36.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
- •36.2. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
- •37.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда
- •37.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •37.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
- •38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •39.1. Функциональные ряды
- •39.2. Степенные ряды
- •39.3. Теорема Абеля
- •40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена
- •40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •41.1. Периодические функции
- •41.2. Определение ряда Фурье
- •41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом
- •42.1. Множества
- •42.2. Подмножество
- •42.3. Операции над множествами
- •Свойства операций:
- •43.1. Общие понятия теории графов
- •43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами
- •43.3. Способы задания графов
- •43.4. Комбинаторика как наука
- •43.5. Сочетания. Размещения. Перестановки
- •44.1. Развитие теории вероятностей как науки
- •44.2. Виды случайных событий
- •44.3. Классическое определение вероятности
- •44.4. Относительная частота
- •44.5. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Противоположные события
- •44.6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •44.7. Теорема сложения вероятностей для совместных событий
- •44.8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •45.1. Формула Бернулли
- •45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий
- •45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа
- •45.4. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых событий. Асимптотическая формула Пуассона
- •46.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •46.2. Формы задания законов распределения случайных величин: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения
- •46.3. Свойства функции распределения и функции плотности распределения вероятности появления случайной величины
- •46.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •46.5. Числовые характеристики случайной величины.
- •47.1. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение дискретной случайной величины
- •47.2. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Простейший поток событий
- •47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.4. Показательный закон распределения
- •47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.6. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм
- •48.1. Закон больших чисел и его практическое значение
- •48.2. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •48.3. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы
- •49.1. Генеральная и выборочная совокупности
- •49.2. Статистическое распределение выборки
- •49.3. Эмпирическая функция распределения
- •49.4. Полигон и гистограмма
- •50.1. Определение статистических оценок параметров распределения
- •50.2. Виды статистических оценок параметров распределения
- •50.3.Надежность статистических оценок параметров распределения.
- •51.1. Статистическая гипотеза
- •51.2. Статистический критерий
- •51.3. Критерий согласия Пирсона
- •51.4. Критерий Колмогорова
- •51.5. Критерий проверки гипотезы о равенстве дисперсий
- •51.6. Критерий сравнения двух выборочных средних
- •51.7. Критерий Вилкоксона проверки гипотезы об однородности двух выборок
- •52.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •52.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •53.1. Корреляционная зависимость
- •53.2. Линейная парная регрессия
- •53.3. Оценка значимости параметров связи
- •54.1. Понятие о нелинейной регрессии
- •54.2. Корреляционное отношение
- •54.3. Ранговая корреляция
- •Задания для практических занятий по материалу лекций
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Рекомендуемая литература
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера-Снедекора
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Оглавление
- •Бунтова Елена Вячеславовна математика
- •446442, Самарская обл., пгт. Усть-Кинельский, ул. Учебная, 2
- •443068, Г. Самара, ул. Песчаная, 1
Словарь терминов и определений
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма индексов число четное, и с противоположным знаком, если сумма индексовчисло нечетное.
Асимптота – это прямая, к которой график функции сколь угодно близко приближается.
Базисным минором в матрице порядка называют минор порядкаесли он не равен нулю, а все миноры порядкаи выше равны нулю.
Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Бесконечно малая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю.
Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
Вектором на плоскости называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкойкоторый можно перемещать параллельно самому себе.
Векторное пространство – это множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.
Граф – множество линий , соединяющее пары точек множества
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).
Дискретные множества – совокупность, набор некоторых элементов.
Диагональными называют элементы матрицы у которых номер столбца равен номеру строки
Длиной вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.
Директрисами эллипса называют прямые, проходящие параллельно малой оси.
Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.
Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которые известная функция входит под знаком производной.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Законом распределения непрерывной случайной величины называют плотности распределения непрерывных случайных величин.
Испытание - это выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
Интенсивностью потока событий называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел и
Комплексно сопряженными числами называют два комплексных числа
отличающиеся только знаками мнимой части.
Коллинеарными называют вектора, если они расположены на одной или на параллельных прямых.
Компланарными называют векторы, если существует плоскость, которой они параллельны.
Криволинейным интегралом называют определенный интеграл, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой.
Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической.
Корреляционная зависимость – это зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой.
Корреляционным моментом случайных величин называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин.
Коэффициентом корреляции случайных величин называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Минором элемента определителя называется определитель, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится данный элемент.
Минором матрицы порядка называется определитель матрицы, образованный из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких–либо выбранныхстрок истолбцов.
Множество – неупорядоченная совокупность элементов, набор объектов.
Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины возможные значения которой принадлежат отрезку называют определенный интеграл
-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел.
Нормальным вектором плоскости называют вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.
Несовместная система уравнений – система уравнений, не имеющая решений.
Непрерывной функция в точке называется, если предел функции и ее значение в этой точке равны.
Несовместными называют события, если наступление одного из них исключает наступление любого другого в одном и том испытании.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью распределения вероятностей .
Определителем матрицы называется число, полученное из элементов этой матрицы по определенному правилу.
Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
Область определения (существования) функции – это совокупность всех значений независимой переменной
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.
Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.
Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Парабола – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Подмножеством некоторого множества называется любое множество, состоящее из элементов данного множества.
Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Предел последовательности – это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера, т.е. это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Полярными координатами точки называется ее полярный радиуси полярный угол.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию первую производную от:.
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Показательным законом распределения называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины который описывается плотностьюгде
Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Полигон – ломаная, отрезки, которой соединяют точки .
Равносильными, или эквивалентными называются две системы уравнений если они имеют одно и то же множество решений.
Ранг матрицы – число, равное порядку базисного минора.
Равными векторами называют коллинеарные вектора, одинаково направленные и имеющие одинаковые модули.
Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.
Решением системы называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Равномерным распределением вероятностей называют распределение, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
Собственным вектором матрицы называется вектор такой, что результатом применения к линейного преобразования, задаваемого матрицейявляется умножение этого вектора на число().
Сходящаяся последовательность – это последовательность элементов множества имеющая предел в этом множестве.
Совместная система уравнений – система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.
Совместны два события в том случае, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот).
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Транспонирование матриц – переход к новой матрице, в которой соответствующие строки меняются на соответствующие столбцы.
Теоретическими или выравнивающими называют частоты, найденные вычислением.
Уравнением линии называется соотношение между координатами точек, составляющих эту линию.
Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Функция называетсянепрерывной в точке если предел функции и ее значение в этой точке равны.
Функцией называется переменная величина от переменной величины если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины соответствует единственное вполне определенное значение величины
Функцией распределения вероятностей называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение, меньшеет.е.
Числовая последовательность – это функция вида множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента).
Элементами матрицы называются числа, составляющие матрицу.
Эквивалентные матрицы – матрицы, полученные в результате элементарного преобразования.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная
Экстремумом функции называется максимум или минимум функции.
Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.
Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .
Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.