29.2. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Вычисление криволинейных интегралов первого рода.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

где – непрерывные вместе со своими производнымифункции, афункция непрерывная вдоль этой кривой. Тогда для любой точки кривойдлинудуги можно рассматривать как функцию параметраи вычислять по формуле

Откуда, согласно правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу,

Если кривая задана уравнениемто

Рассмотрим пример. Вычислить криволинейный интеграл

где дуга параболыот точкидо точки

Воспользуемся формулой

для этого определим

тогда

Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

Криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к определенным интегралам.

Если кривая задана уравнением вида

где непрерывно дифференцируемая функция, то, принимаяза параметр

получаем

Аналогично поступаем, если кривая задана уравнением вида

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл

где четверть окружности

соответствует соответствует

Имеем

Получаем

Рассмотрим пример. Вычислить интеграл

где контур прямоугольника, образованного прямыми

Рис. 61

Контур интегрирования

На рисунке 61 положительное направление обхода контура обозначено стрелками. Разбивая весь контур интегрирования на части, получим

Интегралы вдоль участков иравны нулю, так как на нихявляется постоянным и, следовательно,Остается вычислить интегралы по участками

Получим

Окончательно получим

29.3. Формула Грина

Связь между криволинейными и двойными интегралами устанавливает формула Грина.

Пусть некоторая простая замкнутая область (область, граница которой пересекается с прямыми параллельными осям координат, не более, чем в двух точках), ограниченная контуроми пусть функцииинепрерывны вместе со своими частными производнымиив данной области. Тогда имеет место формула

- это есть формула Грина.

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Рассмотрим пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

где окружность

Функции

непрерывны в замкнутом круге

Следовательно, формула Грина применима к данному интегралу

В некоторых случаях величина криволинейного интеграла

не зависит от интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек ипути интегрирования. При каких условиях имеет место такая независимость?

Плоская область называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контурлежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит областиОдносвязность области означает, что область не имеет дыр. Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и так далее.

Пусть функции иопределены и непрерывны вместе со своими частными производнымиив некоторой замкнутой односвязной областиТогда следующие условия эквивалентны, т.е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:

1. для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой расположенной в области

2. для любых двух точек областизначение интеграла

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в области

3. выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области

4. в области всюду

Контрольные вопросы

1. Дать определение криволинейного интеграла.

2. Как вычисляют криволинейные интегралы первого и второго рода?

3. Сформулировать условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

4. Записать формулу Грина.

Лекция №30. Комплексные числа

30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости.

30.2. Модуль и аргумент комплексного числа.

30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические

действия над комплексными числами.