4.2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями над векторами называется сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой векторов является вектор начало которого совпадает с началом вектора, а конец с концом векторапри условии, что начало векторасовпадает с концом вектора(правило треугольников).

Каковы бы не были точки , имеет место векторное равенство

.

Рис. 4

Сложение векторов по правилу треугольников

Покажем сложение коллинеарных векторов с помощью параллельного переноса рис.5.

Рис.5

Если векторы инеколлинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм. Диагональ параллелограмма есть сумма векторови

Рис. 6

Правило параллелограмма

Свойства сложения векторов.

Для любых векторов и заданных в пространстве справедливы равенства:

1. переместительный закон

2. сочетательный закон

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор , длина которого равна. Причем векторыисонаправлены, еслии противоположно направлены при

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Рис.7

Произведение вектора на число

Свойства умножения вектора на число.

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства:

1. сочетательный закон

2. первый распределительный закон ;

3. второй распределительный закон

Любой вектор на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарных векторов и

Рис.8

Базис вектора

Числа называются координатами вектора. Векторы иназываютсябазисом вектора на плоскости.

Базисом пространства называют любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Любой вектор может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов и

.

Числа называют координатами вектора в данном базисе

4.3. Декартова система координат

Декартова система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, а третья – осью аппликат. Начало координат обозначается буквой , координатные оси соответственно символами – Отложив на осяхв положительном направлении отрезки равные единице масштаба, получим три основных вектора

Рис.9

Декартова система координат в пространстве

Пусть -произвольная точка пространства, -ее проекции на координатные оси. Координатами точкив заданной системе называются числагде- величина отрезкаоси абсцисс,- величина отрезкаоси ординат,- величина отрезкаоси аппликат. Числоназывается абсциссой,y-ординатой, -апликатой точки Символобозначает, что точкаимеет координаты

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки

то

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве то

Если точка делит отрезокв соотношенииотто координаты этой точки определяются так:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как

Линейные операции над векторами в координатах.

Пусть заданы векторы тогда

Расстояние между двумя точками определяется по формуле

Рассмотрим пример. Даны точки на прямойнайти точкуделящую отрезокв отношении

Следовательно, - искомая точка.

Рассмотрим пример. На оси найти точку, равноудаленную от точеки

Должно выполняться равенство Так как точкалежит на осито ее координатыТогда