41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функцияявляется четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится неполным).

Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Рассмотрим пример. Разложить в ряд Фурье функцию

Рис. 67

На рисунке 67 изображен график заданной функции. Условиям Дирихле функция удовлетворяет. Эта функция – нечетная. Следовательно, а

т.е.

Ряд Фурье содержит только синусы

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от

Пусть функция определенная на отрезкеимеет период

где произвольное положительное число, и, функция удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку

данную функцию преобразуем в функцию

которая определена на отрезке и имеет период

Действительно, если тоеслитои приимеем

т.е.

Разложение функции в ряд Фурье на отрезкеимеет вид

где

Ряд

называется рядом Фурье для функции с периодом

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которыхВ частности,если на отрезкечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Eсли на отрезкечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

где

Рассмотрим пример. Разложить функцию на интервалев ряд Фурье.

Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле. Согласно формулам

где

при имеем

где

Вычисляем

Таким образом,

для

Пусть непериодическая функция, заданная на всей числовой оси

Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна для всех

Однако непериодическая функция может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежуткена котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезкаи построить функциюпериодатакую, чтопри

Рис. 68

Непериодическая функция

Разлагаем функцию в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функциейВне этого промежутка сумма ряда иявляются различными функциями.

Пусть теперь непериодическую функцию требуется разложить в ряд Фурье на отрезкеЭто частный случай: начало координат перенесено в точкуотрезкаобласть определениябудет иметь видгде

Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке а затем осуществить ее периодическое продолжение с периодомРазложив в ряд Фурье на отрезкеполученную таким образом периодическую функциюискомый ряд для функциипри

В частности, функцию можно доопределить на отрезкечетным образом, т.е. чтобы прибылоВ этом случае функцияразлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы.

Рис. 69

Непериодическая функция

Если же функцию продолжить на отрезке нечетным образом, то она разлагается в ряд Фурье, состоящий только из синусов.

Рис. 70

Ряд косинусов и ряд синусов для функции заданной на отрезке имеют одну и ту же сумму. Еслиточка разрыва функциито сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу

Рассмотрим пример. Разложить в ряд косинусов функцию

Продолжим функцию на отрезкечетным образом. Разлагаем в ряд функцию

с периодом условиям теоремы Дирихле функцияудовлетворяет. Находим

Таким образом,

где при

Контрольные вопросы

1. Дать определение периодической функции и перечислить ее основные свойства.

2. Какой ряд называется тригонометрическим?

3. Записать формулы для нахождения коэффициентов Фурье.

Лекция №42. Множества

42.1. Множества.

42.2. Подмножество.

42.3. Операции над множествами.