12.4. Сходимость числовых последовательностей

Сходящаяся последовательность – это последовательность элементов множества имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность – это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей.

1) Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Ее предел равен нулю.

2) Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

3) Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

4) Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом ее верхний и нижний пределы совпадают.

5) Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность

которая является ограниченной.

6)Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

7)Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

8)Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

9)Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

10)Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то ее предел не превышает ни одной из ее верхних граней.

11)Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из ее нижних граней не превышает ее предела.

12)Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

12.5. Предел функции. Односторонние пределы

Пусть функция определена на некотором множествеи пусть точка

или

Возьмем из последовательность точек, отличных от

сходящихся к Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Число называется пределом функции в точке если для любой сходящейся кпоследовательностизначений аргументаотличных отсоответствующая последовательность

значений функции сходится к числу

Функция может иметь в точкетолько один предел.

Число называетсяпределом функции в точке если для любого числасуществует числотакое, что для всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство

Первое и второе определение предела эквивалентны.

Односторонние пределы.

Число называется правым (левым) пределом функциив точкеесли для любой сходящейся кпоследовательности

которая больше (меньше) соответствующая последовательность

сходится к

Можно дать другое определение.

Число называется правым (левым) пределом функциив точке, если для любогосуществует числотакое, что для всехудовлетворяющих неравенствам

выполняется неравенство

Функция имеет в точкепредел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам

Существует понятие предела при стремлении аргумента к бесконечности.

Число называется пределом функцииприесли для любой бесконечно большой последовательности

значений аргумента соответствующая последовательность

значений функции сходится к

Число называется пределом функцииприесли для любого числа

существует число такое, что для всехудовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство