18.4. Метод множителей Лагранжа

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а множителем Лагранжа.

Если точка является точкой условного экстремума функциипри условиито существует значениетакое, что точкаявляется точкой экстремума функции

Для нахождения условного экстремума функции при условиитребуется найти решение системы

Последнее из уравнений системы совпадает с уравнением связи.

В точке условного экстремума линия уровня функции касается линии

Рассмотрим пример. Найти точки экстремума функции при условии

используя метод множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точкаНетрудно убедиться в том, что эта точка является точкой условного минимума.

Во многих задачах критическая точка функции Лагранжа оказывается единственной и соответствует не только локальному, но и глобальному условному минимуму или максимуму.

Контрольные вопросы

1. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

2. Сформулировать необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

3. Сформулировать суть метода множителей Лагранжа.

4. Как находят наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве?

Лекция №19. Неопределенный интеграл

19.1. Первообразная функции.

19.2.Неопределенный интеграл и его свойства.

19.3.Таблица основных интегралов.

19.4.Интегрирование методом замены переменной.

19.1. Первообразная функции

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в механике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции, т.е.. Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Функция называетсяпервообразной для функции на некотором промежутке если для всех значенийиз этого промежутка выполняется равенство

Рассмотрим пример. Функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении переменной

Первообразная у заданной функции не одна. Например,

и

Вообще, если функция имеет первообразныеито

т.е.

Таким образом, любые две первообразные к одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое и чтобы получить все первообразные для данной функции, надо взять какую-нибудь одну и прибавить к ней произвольную постоянную.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Если функция– первообразная для, то функция

,

также является первообразной для , так как

для любого числа (произвольной постоянной).