28.1. Геометрический смысл двойного интеграла

Вычисление площади посредством двойного интеграла.

Площадь плоской областиравна двойному интегралу отраспространенному на область

В прямоугольных координатах и

В полярных координатах и

Рассмотрим пример. Найти площадь области, ограниченной линиями

Построив данные полукубические параболы, получим криволинейный четырехугольник Точки, ипересечения кривых найдены путем совместного решения их уравнений.

Рис. 55

Криволинейный четырехугольник

Вследствие симметричности фигуры относительно оси ее площадь равна удвоенной площади криволинейного треугольникарасположенного в первом квадрате.

Согласно формуле

площадь области равна

Если интегрировать в другом порядке, то необходимо разбить область прямой, проходящей через точкупараллельно осина две части

Результат при этом получится тот же самый.

Вычисление объема тела.

Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область на плоскостии ограниченного сверху поверхностьювыражается двойным интегралом

Рис. 56

Вертикальное цилиндрическое тело

Рассмотрим пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Данное тело представляет собой вертикальный цилиндр, который сверху ограничен плоскостью а снизу – частью плоскостизаключенной между параболой

и прямой

Рис. 57

Вертикальный цилиндр

Согласно формуле

объем этого тела

28.2. Физические приложения двойного интеграла

Если пластина занимает область плоскостии имеет поверхностную плотностьто масса пластинывыражается двойным интегралом

Статистические моменты пластины относительно осей инаходят по формулам

Координаты центра тяжести пластины вычисляют по формулам

Моменты инерции пластины относительно осей вычисляют по формулам

Момент инерции относительно начала координат

Контрольные вопросы

1. В чем геометрический смысл двойного интеграла?

2. Перечислить физические приложения двойного интеграла.

Лекция №29. Криволинейный интеграл

29.1. Определение криволинейного интеграла.

29.2. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости

криволинейного интеграла от пути интегрирования.

29.3. Формула Грина.

29.1. Определение криволинейного интеграла

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является дуга некоторой кривой, лежащей в плоскости. Интегралы такого рода называются криволинейными. Они имеют широкое применение в различных разделах математики. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

Определение криволинейного интеграла первого рода. Рассмотрим на плоскости некоторую кривую гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функцияопределена и ограничена на кривой

Разобьем кривую произвольно начастей точками

выберем на каждой из частичных дуг произвольную точкуи составим сумму

где длина дуги Данная сумма называется интегральной суммой для функции по кривойОбозначим черезнаибольшую из длин частичных дуг

Если интегральная сумма при имеет предел, равныйто этотпредел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой

Рис. 58

Контур интегрирования

В этом случае функция называется интегрируемой вдоль кривойкриваяконтуром интегрирования,начальной, аконечной точками интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу. Приняв на кривой за параметр длину дугиотсчитываемую от точкиполучим параметрическое представление кривой

Тогда функция , заданная вдоль становится сложной функцией параметра

Таким образом, криволинейный интеграл выражается через определенный интеграл

Криволинейный интеграл обладает всеми свойствами определенного интеграла за исключением одного, в интегральной сумме

величины обязательно положительны, независимо от того, какую точку кривой считать начальной, а какую конечной, в то время как определенный интеграл

при перестановке пределов интегрирования меняет знак.

Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл

численно равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости восстановленных в точках кривой и имеющих переменную длину

Рис. 59

Кусок цилиндрической поверхности

Если не кривая, а отрезок прямой, расположенный на осито криволинейный интеграл будет обычным определенным интегралом.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого рода можно вычислять площадь цилиндрических поверхностей и длины дуг. Кроме того, с помощью криволинейного интеграла можно находить массу материальной кривой по ее плотности, моменты инерции относительно координатных осей, координаты центра масс такой кривой.

Криволинейный интеграл второго рода.

Пусть на кривой определены две ограниченные функции иРазобьем кривуюначастей точками

Рис. 60

Кривая АВ

Обозначим через ипроекции векторана оси координат, на каждой частичной дугевозьмем произвольную точкуи составим интегральную сумму для функции

Если данная интегральная сумма при длина дугиимеет предел, равныйто этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функциипо кривой

Сумму

называют общим криволинейным интегралом второго рода

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы первого рода, сводятся к определенным интегралам.

Пусть кривая задана параметрически уравнениями

где инепрерывные вместе со своими производными ифункции, причем точкекривой соответствует значениеточкезначение

Пусть функции инепрерывны вдоль кривойТогда справедливы формулы

сводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.

Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении проходится кривая и меняет знак при изменении направления обхода кривой, т.е.

Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования.

В случае, когда замкнутая кривая, т.е. когда точкасовпадает с точкойиз двух возможных направлений обхода замкнутого контураназывают положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контураназывают отрицательным.