1.2. Основы теории обработки результатов эксперимента

Обработка данных эксперимента имеет своей целью представление его результатов в наглядной форме при обязательной оценке погрешности результата.

Существует три основных видов ошибок: систематические, случайные и грубые ошибки. Первые обычно исключаются путем калибровки приборов по эталонам и не рассматриваются. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин (неконтролируемых), грубые ошибки - в результате просчета экспериментатора. Результаты измерений с грубыми ошибками значительно, иногда на порядок и выше, отличаются от других результатов измерений, и видны, как говорится, «на глаз». Теория ошибок занимается изучением случайных и грубых ошибок.

Анализ случайных ошибок

Пусть в измерительном эксперименте в результате независимых и равноточных измерений «постоянной» величины а получены значения х₁, х₂,..., х_n. Разности:

(1)

называют истинными ошибками и рассматриваются как случайные величины. При этом независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин (парный коэффициент корреляции ), равноточность - как подчинение величин одному нормальному закону распределения (наиболее частый случай), с математическим ожиданием .

В качестве оценки неизвестной величины а принимают среднее изN результатов измерений:

(2)

Кажущиеся ошибки разности:

(3)

Оценка дисперсии (несмещенная):

(4)

Статистическая оценка, стандарт (среднее квадратическое отклонение):

(5)

Мера точности случайной величины h:

(6)

Если каждое из измерений имеет меру точностиh(x), то для среднего значения получаем меру точности:

(7)

Из (7) следует, что на повышение точности результата эксперимента наибольшее влияние оказывает повышение точности отдельных измеренийh(x) или снижение меры разброса возможных значений соответствующей случайной величины относительно среднего значения (математического ожидания).

При нормальном законе распределения случайной ошибки, точечные ошибки основаны на известном положении теории вероятности, что отношение:

(8)

подчиняется распределению Стьюдента, а отношение:

(9)

подчиняется распределению (Пирсона) со степенями свободы

Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому более информативным является способ оценивания неизвестных параметров некоторым интервалом, в котором с заданной степенью достоверности окажется и оцениваемый параметр (в частностиили).

Интервальная оценка параметра , границы которогои являются функциями выборочных значений х₁, х₂,..., х_n и который с заданной вероятностью р накрывает оцениваемый параметр :

. (10)

Интервал (10) называется доверительным (ДИ), , - границы доверительного интервала, р - доверительная вероятность, а величина:

(11)

называется уровнем значимости.

Практически чаще используется р=0,95 (q=0,05) или р=0,9 (q=0,1).

В табл. 1.1 указаны сведения, необходимые для построения доверительных интервалов для среднего значения математического ожидания , когданеизвестна, для дисперсии и среднеквадратического отклонения. Полагается что. Нормальный закон распределения:.

Таблица 1.1

Параметр	Информация о параметрах распределения	Функция плотности распределения	Распределение t(g)	Формула расчета интервала
	- неизвестна		t - распределение Стьюдента	(12)
	- неизвестно		- распределение Пирсона	(13)
	- неизвестно		- распределение Пирсона	(14)

(12)

(13)

(14)

В формулах (12-14), - число степеней свободы,N - объем выборки, , гдер - доверительная вероятность, q - уровень значимости, - табулированное значение t-критерия Стьюдента при  - числе степеней свободы и уровне значимости , - табулированное значение -критерия Пирсона по таблицам.

Пример №1.

Пусть по 9 замерам нагрузки на подстанции (N=9) определены точечные оценки (среднее) математического ожидания и дисперсии.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	2	3	1	1,5	2,5	1,8	1,6	2,2	2,4

МВАр,

(МВАр)²,

где - результат единичного замера нагрузки, МВАр.

Требуется построить доверительные интервалы:

1) для прир=0,95 (q=1-p=0,05);

2) для прир=0,9 (q=1-p=0,1).

Число степеней свободы: =N-1=9-1=8.

1) По табулированным значениям находим :

откуда доверительный интервал для есть (0,0753,925), т.е. ,. По формуле (12):

МВАр.

2) Аналогично по -таблицам находим:

:

(МВАр)².