Проверка адекватности математического описания

Гипотеза об адекватности математического описания опытным данным проверяется по оценке отклонения предсказаний по полученному уравнению регрессии величины отклика от результатов наблюденийв одних и тех же точкахg-факторного пространства.

Рассеяние результатов проводится с помощью дисперсии адекватности:

(66)

где - среднее значение параметра оптимизации в j-м опыте;

- значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта;

f - число степеней свободы: f=N-(k+1);

k - число факторов;

(k+1)=d - число членов аппроксимируемого полинома.

Проверку гипотезы проводят по критерию Фишера:

(67)

где (68)

Если при заданном , , критическое значение (по таблицам):, то модель считают адекватной. При - гипотеза об адекватности отвергается, т.е. гипотеза о соотношении между и - оценкой дисперсии воспроизводимости отклика. Проверка адекватности возможна при что требует выполнения соотношения N>d.

Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании опытов

По разного рода причинам не всегда удается провести одинаковое число параллельных опытов. При этом нарушается ортогональность матрицы планирования и, как следствие, изменяются формулы для расчета ,и их ошибок. Обработка результатов экспериментов при неравномерном дублировании опытов производится по следующему алгоритму.

1. Для каждой строки матрицы планирования находят среднее значение параметра оптимизации по выражению:

где - число параллельных опытов в j-й строке матрицы.

2. Для каждой строки матрицы вычисляют дисперсию опыта:

.

3. Проверяют с помощью критерия Бартлета гипотезу однородности дисперсий опытов. Для этого подсчитывают дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле:

где - число степеней свободы, с которым определялась дисперсия опыта.

Определяют критерий Бартлета по выражению:

где .

Критерий Бартлета Q приближенно подчиняется ² распределению Пирсона с (N-1) степенями свободы, где N - число сравниваемых дисперсий.

Если ( - критическое значение ²-Пирсона для данного числа (N-1) степеней свободы и принятого уровня значимости =0,05), то дисперсии однородны ( берется из таблиц).

Критерий Бартлета основан на нормальном законе распределения N: 0,1. Если распределение случайной величины не подчиняется N: 0,1, то проверка однородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

Пример №5.

Матрица планирования предусматривает постановку 4-х опытов. Для 1^го опыта n₁=5 (повторен пять раз); n₂=6; n₃=4; n₄=4. При этом дисперсии по опытам равны: Требуется проверить гипотезу об однородности выборок Н₀: .

Определяем дисперсию параметра оптимизации:

где где - число степеней свободы, с которым определялась дисперсия j-го опыта: ;

Вычисляем величину с:

Определяем критерий Бартлета:

Критическое значение -Пирсона при =0,05 для 3^х степеней свободы:  = N-1 = 4-1 = 3, равно:

Так как (1,37<7,82), то Н₀: - отвергается, что означает, что однородность дисперсий обеспечивается.

4. Вычисляют коэффициенты уравнения регрессии, дисперсиикоэффициентов регрессии и ошибки - стандартв определении коэффициентов, ковариация коэффициентов регрессии.

5. Для каждого коэффициента регрессии находят расчетное значение t-критерия Стьюдента по выражению:

Сравнивают с критическим , где число степеней свободы=f, которое в рассматриваемом случае определяют по выражению:

Проверяют гипотезу Н₀: (коэффициент значим) и(коэффициент незначим). Принезначимые коэффициенты могут быть исключены из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитывают с использованием МНК.

6. Определяют дисперсию адекватности:

- число параллельных опытов в j-ой строке матрицы; k - число факторов.

7. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера:

Если Н₀:, то модель адекватна. Если - то гипотеза Н₀ отвергается.