Дробный факторный эксперимент (дфэ)

Во многих практических задачах, особенно при большом числе факторов n (2ⁿ) неэффективно использовать ПФЭ, так как в первую очередь необходимо получить линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном количестве экспериментов. Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) ПФЭ. ДФЭ позволяет получить, например, линейное приближение искомого функционала , в некоторой небольшой окрестности базового режима при минимуме опытов, т.е. получить адекватную модель в виде полинома:(приn=2). Так, например, при ПФЭ 2² при линейном приближении можно принять коэффициент и тогда . В этом случае имеем: .

Для определения коэффициентов (b₀, b₁, b₂, b₃) достаточно провести 4 опыта вместо 8 опытов в ПФЭ 2³. План эксперимента, предусматривающий реализацию половины опытов ПФЭ, называется полурепликой. При увеличении числа факторов k>3 возможно применение реплик большей дробности. Они обозначаются выражением 2^k-p, где р - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия.

При р=1 получают полуреплику, при р=2 - 1/4 реплику, при р=3 - 1/8 и т.д., т.е. по степеням двойки. Так, если при ПФЭ 2³, один из эффектов взаимодействия () заменить на, то получим полуреплику 2^4-1 ПФЭ 2⁴. Если два эффекта взаимодействия заменить на и, то получим 1/4 реплику 2^5-2. Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов математической модели. Коэффициенты b₁, b₂, b₃ будут оценками совместных эффектов, а именно, линейных эффектов и эффектов взаимодействия.

Матрица ПФЭ типа 2³ приведена в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Номер опыта	ПФЭ типа 2^3									Всп. эксп. 2^2
	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	y	х1х3	х2х3
1	+	-	-	+	+	-	-	+	y1	-	-
2	+	+	-	+	-	+	-	-	y2	-	+
3	+	-	+	+	-	-	+	-	y3	+	-
4	+	+	+	+	+	+	+	+	y4	+	+
5	+	-	-	-	+	+	+	-	y5	-	-
6	+	+	-	-	-	-	+	+	y6	-	+
7	+	-	+	-	-	+	-	+	y7	+	-
8	+	+	+	-	+	-	-	-	y8	+	+

Если заменить произведение х₁х₂=х₃, то матрица полуреплики ДФЭ N=2^3-1 будет иметь вид (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Номер опыта	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	yi
1	+	-	-	+	+	-	-	+	y1
2	+	+	-	-	-	-	+	+	y2
3	+	-	+	-	-	+	-	+	y3
4	+	+	+	+	+	+	+	+	y4

В табл. 1.4 для ПФЭ 2² (произведение х₁х₃ и х₂х₃, где х₃= х₁х₂) совпадают столбцы с элементами столбца х₂ и х₁ соответственно, т.е. Коэффициентявляется оценкой влияния факторах₁ и парного взаимодействия х₂х₃ на y_i - функцию отклика. Оценки, в которых невозможно разделить линейный эффект и эффект взаимодействия, называются смешанными. Желательно смешивать с. Число несмешанных линейных эффектовв дробной реплике называется ее разрешающей способностью. Так как прямая оценка разрешающей способности () затруднена, то обычно дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений, показывающие какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором.

План типа 2^3-1 может быть представлен двумя полурепликами, которые задаются одним из следующих генерирующих соотношений:

. (52)

Генерирующие соотношения умножим на новую независимую переменную х₃:

(53)

Две полуреплики 2^3-1 приведены в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Номер опыта	х3= х1х2			Номер опыта	х3= -х1х2
	х1	х2	х3		х1	х2	х3
1	-	+	-	1	-	+	+
2	+	+	+	2	+	+	-
3	-	-	+	3	-	-	-
4	+	-	-	4	+	-

Поскольку то получим:

(54)

В результате умножения генерирующего соотношения на новую переменную получают определяющий контраст (54). Зная его, можно найти соотношения, задающие совместные оценки. Для этого необходимо умножить независимые переменные х₁, х₂, х₃ на определяющий контраст. Для х₁ получим: . Так как то получим:.

Для х₂ и х₃, после умножения на определяющий контраст, получим:

.

Это означает, что коэффициенты регрессии будут оценками:

Расчет ведется по одной полуреплике (например ), если возникает сомнение, чтото можно поставить еще 4 опыта по полуреплике (), тогда получаем ПФЭ 2³.

В дробных репликах используется часть ПФЭ, которая делится таким образом, чтобы разность между числом оцениваемых параметров (k) и числом опытов (N) была бы минимальна, что обеспечивает наибольшую эффективность (N>k, min N=k+1 - для проверки гипотезы об адекватности модели).

Для модели 2² имеем: ,k=N (4 опыта=) - нет степеней свободы. Если принять, что взаимодействие, тогда выполняется условиеN>k, N=k+1, 4=3+1.