Анализ и исключение грубых ошибок

Грубые ошибки должны быть исключены, так как могут привести к искажению статистических оценок и. При этом пользуются проверкой некоторых статистических гипотез. В качестве основной (нулевой) гипотезы Н₀ рассматривается положение, что все элементы N-выборки принадлежат одной генеральной совокупности с N-распределением. В качестве альтернативной гипотезы Н₁ - что отдельные элементы N-выборки () имеют:ноили, но(значения среднего и дисперсии не совпадают).

Для анализа используется t-статистика Стьюдента по правилу Томпсона. Рассчитывается статистика:

(15)

При принятом уровне значимости и числе степеней свободыпо табл.t-критерия Стьюдента определяется критическое значение статистики (двусторонний критерий при ).

Критерий исключения аномальных наблюдений:

(16)

Если , то гипотеза Н₀ отвергается, если же , то гипотеза Н₀ принимается.

При нормальном законе распределения можно использовать критерий «» или «» - соответственно для уровней значимостиq=0,005 и q=0,05.

Тогда если , тоиз выборки исключается, как грубая ошибка (рис. 1.2).

Другой алгоритм проверки:

Н₀: Н₁:

Из проведения 10 опытов (N=10) получено:

По формуле 8 () определяем статистику:

Так как , то гипотеза Н₀ отвергается.

Матрицы корреляционных моментов и корреляционных коэффициентов

Две случайные величины х и у называются независимыми, если:

(17)

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин х и у, могут быть охарактеризованы рядом числовых параметров: . Кроме них для двумерной совокупности, простейшими параметрами, характеризующими степень взаимозависимости переменныхх и у, являются ковариация или корреляционный момент двух случайных величин:

(18)

Для определения взаимных корреляционных моментов дискретных случайных величин х, у по множеству значений величин x_i (i=1R₁), y_j (j=1R₂), получаем формулу:

(19)

где под вероятностью понимается общая вероятность тех точек вероятностного пространства, для которых выполняются соотношения .

Для независимых случайных величин х, у совместная вероятность равна произведению индивидуальных вероятностей: при этом.

Расчет математического ожидания дискретных величин и дисперсий производится по формуле:

(20)

где x_i - случайная величина, выборка N=1r;

- вероятность каждой из точек x_i.

Нормированный показатель связи - коэффициент корреляции определяется по выражению:

(21)

По своему физическому смыслу коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между х и у и меняется в пределах Еслито случайные величины полностью положительно коррелированы, т.е.:

(22)

где а₀ и а₁ - постоянные величины, причем а₁>0.

Если то случайные величины полностью отрицательно коррелированны, т.е.:

(23)

Если то величиных и у не коррелированны (независимы), т.е. а₁=0.

При экспериментальном анализе двумерной совокупности х, у расчет оценки коэффициента корреляции производят по формуле:

(24)

В настоящее время для расчета статистических оценок разработаны стандартные программы, реализуемые на персональных компьютерах.

Если компоненты случайного вектора обозначаются одной буквой и отличаются только индексами корреляционный момент и коэффициент корреляции могут обозначаться сокращенно:и. Матрицыcov(x) и R(x) имеют следующий вид:

(25)

(26)

Пример №2.

Расчет часов использования максимума T_max и максимальных потерь _max, как случайных величин.

В простейшем случае cos не зависит от режима и величины Т и  приближенно находятся по формулам:

(27)

(28)

Введем понятие коэффициента максимума мощности тогда:

(29)

Если рассматривать kP как случайную величину с областью определения на интервале 0Tmax и вероятностью каждой части  этого интервала р(), равной то математическое ожиданиеM(kP) и дисперсия могут быть рассчитаны по формулам:

(30)

(31)

Из формул (29, 30, 31) получаем соотношение математического ожидания и величин Tm и :

(32)

Таким образом Tm полностью определяется математическим ожиданием M(kP) и не зависит от дисперсии этой величины. Значение и поэтому между Tmax и  не может быть однозначной функциональной связи и разброс значений  при заданном Tmax может быть очень значительным, что видно из рис. 1.3, а, б.

На рис. 1.3 (а, б) при общем математическом ожидании имеем разные значения Тmax: Тmax=12 (Тм=Т^.М(kP)=24^.0,5=12 часов) (а) и Тmax=0.

а)

б)

Если случайная величина х определена на дискретном вероятностном пространстве, то операция интегрирования заменяется непосредственно суммированием:

(33)

Подставляя полученные выражения в формулу для  (32) с учетом длины интервала интегрирования Т=24 часа, получим:

часов (рис. 1.3, а)

часов (рис. 1.3, б).

Таким образом, полученные результаты отличаются друг от друга в 2 раза. Приближенная зависимость между Тм и  определяется по формуле Залесского:

(34)

где 8760 - интервал интегрирования, равный одному году.

Формула (34) предложена для одно или двухсменного производства с Tmax=8 час. и Tmax=16 часов.

Пример №3.

Определить математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты нагрузок электрических систем.

Часть электрической системы показана на рис. 1.4.

Она связывает районы потребления, нагрузка и генерация которых зависит от большого числа случайных факторов и поэтому является случайной величиной. В целях упрощения расчета рассмотрим электрическую систему постоянного тока. В базисном узле (Б) напряжение равно 200 кВ. Элементами исходного вероятностного пространства будем считать часы суток, вероятность каждого элемента - р(w_i) = 1/24, тогда множества значений случайных величин нагрузок определяются суточными графиками, показанными на рис.1.5.

Для определения математических ожиданий и дисперсий нагрузок используем формулу:

(35)

Тогда:

Знак «минус» в МР₃учитывает, что в данном узле нагрузки (3) генерация энергии превышает потребление.

Дисперсии нагрузок:

;

;

.

Для определения корреляционных моментов используем формулу:

, (36)

где - общая вероятность тех точек вероятностного пространства, для которых выполняются соотношения: Х(w_i) = X_i ; Y(w_j) = y_i;

w_i - точки вероятностного пространства;

R₁, R₂ - диапазоны значений случайной величины.

Остальные и определяются аналогично.

Дисперсии и корреляционные моменты образуют матрицу корреляционных моментов:

Из этой матрицы можно получить матрицу коэффициентов корреляции, используя формулу :