Обработка результатов экспериментов при отсутствии дублирования опытов

Алгоритм расчета.

1. Для вычисления дисперсии воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (центре плана). При этом все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию воспроизводимости экспериментов:

(69)

где - число параллельных опытов в нулевой точке;

- значение параметра оптимизации в u-м опыте;

- среднее значение в параллельных опытах.

2. Определяют коэффициенты модели.

Свободный член: .

Линейные эффекты: .

Эффекты взаимодействия:

где i, l - номера факторов; j - номер строки или опыта в матрице планирования; - значение параметра оптимизации в j-м опыте;, - кодированные значения (1) факторов i и l в j-м опыте.

3. Статистическая значимость :

а) сравнение абсолютной величины с доверительным интервалом, для построения которого определяют дисперсию:

(70)

где - дисперсия i-го коэффициента регрессии; N - число строк или опытов в матрице планирования.

Из (70) следует, что

Доверительный интервал равен:

где - табличное значение критерия Стьюдента при =0,05 и .

Проверяется гипотеза Н₀: - коэффициент регрессии значим, при- незначим и исключается из уравнения регрессии;

б) с помощью t-критерия Стьюдента.

Расчетное значение: . Гипотеза Н₀: -значимы, если- то коэффициентынезначимы.

4. Определяют дисперсию адекватности по формуле:

(71)

где - наблюдаемое значение параметра в j-м опыте;

- значение параметра, вычисленное по модели для условий j-го опыта;

f - число степеней свободы.

5. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера (60). Если подтверждается гипотеза Н₀:, то модель адекватна. Если , то гипотеза Н₀ отвергается. В этом случае:

а) переходят к планированию 2^го и более высокого порядка эксперимента;

б) уменьшают интервалы варьирования и повторяют эксперимент.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения для оптимизации параметров. При этом все должны быть значимыми. В случае если всекроменезначимы, то следует:

1) рассмотреть интервалы варьирования;

2) повысить точность эксперимента путем улучшения методики и увеличения числа параллельных опытов.

Крутое восхождение по поверхности отклика (метод Бокса-Уилсона)

Градиентом называется вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Градиент () непрерывной однозначной функцииесть вектор:

где - частная производная функции по i-му фактору;

- единичные вектора в направлении осей факторов.

Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, частные производные по факторам равны по величине и знаку соответствующим коэффициентам регрессии.

Следовательно, градиент функцииу есть вектор:

Движение по градиенту - кратчайший путь к оптимуму, так как направление градиента - это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине. Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму называется крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором (рис. 1.7).

1 - график неизвестной функции отклика;

2 - прямая - направление градиента адекватно описывающее функцию отклика в областих, от -1 до +1. , шаг движениях, тогда координаты точки А: (лежит на градиенте),В: (), С: () и т.д.

Затем проводят опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте. По результатам этих опытов определяют область оптимума. Обычно проводят часть опытов, чтобы оптимум получить в «вилке» (между точками СД).

В случае k факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора проводят аналогично, так как коэффициенты определяются независимо друг от друга. Движение осуществляют одновременно.

Шаг движения по градиенту выбирают для одного фактора, так, чтобы где - ошибка, с которой фиксируют фактор. Для остальных факторов шаг определяют по выражению:

где l - выбранный шаг движения для фактора l;

i - шаг движения для i-го фактора;

- коэффициенты регрессии i-го и l-го факторов;

- интервалы варьирования i-го и l-го факторов.

Движение по градиенту начинается с нулевой точки (уровня). Если значительно различны (на порядок), то следует изменить интервалы варьирования факторов и повторить опыты.