Свойства матриц пфэ и дфэ

1. Симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:

где j - номер опыта; i - номер фактора; N - число опытов.

2. Свойство нормировки - сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов:

3. Свойство ортогональности - сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю:

где i, l - номера факторов, причем il.

Ортогональность является одним из наиболее важных свойств матрицы. Ортогональность матрицы позволяет оценить все коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Если какой-либо окажется незначимым, то его можно отбросить (), не пересчитывая остальных.

4. Свойство рототабельности - модель способна предсказывать значение параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направлениях на равных расстояниях от центра эксперимента.

Проведение эксперимента и обработка результатов опыта

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы - это условия опыта. Для исключения систематических ошибок опыты рекомендуется проводить в случайной последовательности (по таблицам случайных чисел). Например, при числе опытов N=8, их последовательность будет:

Номер опыта в матрице	1	2	3	4	5	6	7	8
Порядок реализации (по табл.)	7	2	8	3	1	4	5	6

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется повторять n раз (параллельные или дублирующие опыты), n=2-5. Имеет место 3 варианта дублирования:

1) при равномерном дублировании опытов;

2) эксперимент проведен при неравномерном дублировании опытов;

3) эксперимент без дублирования опытов.

При (1) все строки матрицы планирования имеют одинаковое (неодинаковое - 2) число параллельных опытов, опыты не дублируются в (3). Лучший вариант - (1) - более высокая точность, простая обработка результатов.

1. Обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании опытов.

1. Для каждой строки матрицы планирования по результатам n параллельных опытов находят - среднее параметра оптимизации:

(55)

где n - номер параллельного опыта; - значение параметра оптимизации в u-м параллельном опыте j-ой строки матрицы.

2. Для каждой строки матрицы определяют для n опытов дисперсию и стандарт:

(56)

Предполагая N: 0, 1 исключаются грубые ошибки (проверка на однородность по критериям 2, 3). В математической статистике для проверки гипотез пользуются критериями согласия при определенном уровне значимости q=1-p (q=1-5%), чаще q=5% (p=0,95, =0,05).

3. Проверка воспроизводимости эксперимента - это проверка выполнения предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий . Проверяется гипотеза Н₀: - при опытах, соответственно в точках- равенства генеральных дисперсий. Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объемаn, то число степеней свободы для них одинаково и равно:

(57)

Для проверки используется Gр - критерий Кохрена, представляющий собой отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

(58)

Если расчетное значение Gр (экспериментальное) Gр<Gкр (Gкр - критическое значение при принятом уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы ₁=m-1 ₂=N, m - число параллельных опытов, N - число строк матрицы планирования или число опытов), то дисперсии однородны. Если Gр>Gкр - то дисперсии неоднородны, что указывает на то, что исследуемая величина не подчиняется нормальному закону и следует увеличить число m. Если дисперсии опытов однородны, то дисперсиювоспроизводимости эксперимента определяют по формуле:

(59)

По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты модели. Свободный член равен:

(60)

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты определяются по выражению:

(61)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия равны:

(62)

где i, l - номера факторов; , - кодированные значения факторов i и l в j-м опыте.

Коэффициенты b₀, b_i, b_ij - оценки теоретических коэффициентов ₀, _i, _ij регрессии. Оценки получены по МНК, они распределены нормально со средними, равными теоретическими коэффициентами с

Проверка значимости коэффициентов проводится по Н₀: =0.

1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

2) с помощью t-критерия Стьюдента.

По первому способу:

а) вычисляется дисперсия коэффициентов регрессии i-го коэффициента по формуле:

(63)

б) определяется доверительный интервал по выражению:

(64)

где t - табличное значение t-критерия Стьюдента при принятом уровне значимости  и числе степеней свободы , с которым определялась дисперсия ; f = (m-1)N; - ошибка в определении i-го коэффициента регрессии.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента

(65)

сравнивается с критическим по таблицам при и .

Коэффициент значим, если и. Гипотеза Н₀ отвергается и оценка коэффициентов значима. Статистически незначимыемогут быть исключены из уравнения.

Если , то гипотезу Н₀ не отвергают и - незначимы. Статистическая незначимостьможет объясняться следующим:

- данный i-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е. ;

- интервал варьирования выбран малым.