- •Министерство образования и науки
- •Введение
- •1. Основы теории инженерного эксперимента
- •1.1. Эксперимент как объект исследования
- •1.2. Основы теории обработки результатов эксперимента
- •Анализ случайных ошибок
- •Анализ и исключение грубых ошибок
- •Матрицы корреляционных моментов и корреляционных коэффициентов
- •Вероятностный способ расчета потерь энергии
- •Регрессионный анализ
- •Полный факторный эксперимент (пфэ)
- •Дробный факторный эксперимент (дфэ)
- •Свойства матриц пфэ и дфэ
- •Проведение эксперимента и обработка результатов опыта
- •Проверка адекватности математического описания
- •Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании опытов
- •Обработка результатов экспериментов при отсутствии дублирования опытов
- •Крутое восхождение по поверхности отклика (метод Бокса-Уилсона)
- •Экспериментальные планы, рекомендуемые для решения электроэнергетических задач
- •Литература
Вероятностный способ расчета потерь энергии
Решение задачи для реальных сетей переменного тока связано с громоздкими преобразованиями, поэтому рассмотрим упрощенную задачу: расчет потерь в сети постоянного тока.
Потеря мощности линии, соединяющей узлы i и j сети постоянного тока, имеющей проводимость , определяется по формуле:
. (37)
Для определения потерь мощности во всей сети необходимо суммировать потери по всем линиям:
.(38)
Выражение потерь мощности в окрестности точки математических ожиданий напряжений представим рядом Тейлора, в котором учтем члены первого и второго порядков малости:
.(39)
Чтобы от потерь мощности перейти к потерям энергии за интервал Т (), необходимо проинтегрировать формулу (39), что дает результат:
,(40)
где - это корреляционный момент напряжений узлов i, j. В формуле выделим две составляющие:
- определяется математическим ожиданием (постоянная часть потерь энергии);
- определяется колебаниями мощности в окрестности MU - дисперсионная составляющая.
Из (40) следует, что
После ряда преобразований простейшая формула для определения потерь энергии принимает вид:
(41)
Формула (41) обычно используется в численных расчетах потерь мощности и энергии.
Пример №4.
Определить для части электрической системы (рис. 1.4) по формуле (41),
где - потери мощности, соответствующие режиму математических ожиданий нагрузок ();
Т - временной интервал потерь энергии (Т=24 ч);
- элементы матриц корреляционных моментов мощностей и сопротивлений.
Последовательность расчета.
1. Находим потери мощности, соответствующие режиму математических ожиданий . Результаты расчета режима математических ожиданий приведены на рис. 1.6.
Отдельные формулы расчета.
;
;
.
Решая эту систему уравнений получаем: MU1 = 201,7 кВ; MU2 = 200,43 кВ; MU3 = 204,53 кВ.
МВт,
Аналогично:
Для расчета прежде находим обратную матрицу проводимостей, равную Y-1 = Z. Эта операция выполняется методом единичных токов и приводит к следующему результату:
Элементы матрицы найдены в примере №2. Подставляя их значения в (41) получаем численное выражение для дисперсионной составляющей потерь :
Отсюда: МВт. ч.
Этот расчет дает значительно меньшую погрешность, чем расчет потерь по существующему методу максимального режима и времени максимальных потерь .
Регрессионный анализ
Регрессионный анализ предназначен для нахождения по результатам эксперимента связи выходной характеристики объекта у с факторами, которые влияют на эту характеристику (х1, х2...хn). Объект является регрессионным, если зависимость между выходным параметром Y и входными переменными = (х1, х2...хn), доступными для наблюдения, имеет вид:
где - наблюдаемый в нормальных условиях случайный сигнал,
- априори неизвестный функционал, определяющий зависимость Y от .
Величина у является случайной, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием MY, изменяющемся при изменении факторов , и постоянную дисперсию, т.е. не зависящую от.
Выражение MY = называется уравнением регрессии математического ожидания случайной величины у по неслучайным величинам х1, х2...хn.
В основе регрессионного анализа лежат следующие предположения:
1) при каждом сочетании значений х1, х2...хк величина у имеет нормальное распределение;
2) дисперсия - постоянная;
3) тип функционала MY = известен;
4) независимые переменные х1, х2...хк измеряются с пренебрежительно малыми ошибками по сравнению с ошибкой в определении у;
5) переменные х1, х2...хк линейно независимы.
При обработке результатов многофакторного эксперимента функцию MY = обычно представляют в виде полинома первой или второй степени:
(42)
(43)
где 0, 1, 2 - коэффициенты уравнений регрессии.
Задачи регрессионного анализа:
1) проверка однородности оценок дисперсии
2) нахождение оценок b0, b1, b2,..., bkk параметров 0, 1, 2,..., kk;
3) определение доверительных интервалов для 0, 1, 2,..., kk и проверка значимых оценок;
4) проверка гипотезы адекватности.
Регрессионный анализ линейного уравнения выполняется по следующему алгоритму:
1. Составляют Х-матрицу условий опытов и Y-матрицу наблюдений.
2. Строят матрицу Х*, транспонированную к Х-матрице.
3. Вычисляют матрицу произведения Х*Х.
4. Находят матрицу (Х*Х)-1, обратную матрице Х*Х.
5. Вычисляют матрицу произведений Х*Y.
6. Определяют коэффициенты уравнения регрессии.
7. Находят Сov{bibj} и оценки S2{bi} дисперсий 2{bi}.
8. Вычисляют дисперсию адекватности модели S2ад и проверяют гипотезу адекватности уравнения регрессии.
Оценку уравнения регрессии (42) запишем в виде:
(44)
где у - выборочная оценка MY,
х0 - фиктивная переменная, равная х0=1.
Для решения поставленной задачи число опытов N должно быть равно или больше числа коэффициентов уравнения регрессии, т.е. N (k+1), где (k+1) - число коэффициентов bi.
Оценки b0, b1, b2,..., bk параметров 0, 1, 2,..., k уравнения (42) определяют по МНК по результатам N опытов.
Регрессионный анализ уравнения регрессии в виде полинома второго порядка (43) при 2х факторах выполняют следующим образом.
Оценка уравнения регрессии (43) имеет вид:
(45)
Введем обозначения: Тогда уравнение (45) примет вид линейного уравнения:
Решение уравнения аналогично предыдущему.