Полный факторный эксперимент (пфэ)

Основной задачей планирования эксперимента является расположение экспериментальных точек в исследуемой области факторного пространства с целью получения наиболее точного математического описания объекта при минимальном числе экспериментов, что устанавливается заданным критерием оптимальности плана. К оптимизации приступают после анализа априорной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента, по возможности более близкое к оптимальному значению.

Каждое сочетание уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки или, что одно и то же, центра плана.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровень фактора. Его выбирают так, чтобы приращение величины отклика (у) к базовому значению у₀ при реализации можно было бы выделить на фоне «шума». К шагу варьирования предъявляются следующие требования:

1) где - ошибка, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора (=0,55%);

2) , где - границы области определения фактора. В общем случае от 10 до 60% от всего диапазона варьирования.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют, преобразуют размерные факторы x_i в безразмерные, нормированные факторы по выражению:

(46)

- натуральное значение i-го фактора;

- натуральное значение основного уровня i-го фактора.

Кодирование позволяет значительно облегчить расчеты, так как в этом случае нижние и верхние уровни варьирования в относительных единицах принимают равными: независимо от природы факторов, основных уровней и интервалов варьирования. Для простоты обычно записывают + (вместо +1) и - вместо (-1).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число уровней каждого фактора - m, а число факторов - k, то число всех сочетаний уровней факторов N, а, следовательно, и число опытов в ПФЭ определяется выражением:

(47)

Простейшим представлением планов факторных экспериментов для построения линейных моделей является ПФЭ при 2^х уровневом варьировании типа 2^k. Если в эксперименте с двумя переменными х₁ и х₂ каждая меняется на двух уровнях (например, при расчете потерь: х₁ - напряжение в узле нагрузки 105 и 120 кВ, и нагрузка 30 МВт и 60 МВт), то все возможные комбинации варьируемых факторов будут равны N=2²=4 - т.е. найдены перебором из 4^х опытов. ПФЭ 2² может быть представлен матрицей (табл. 1.2), в которой число строк равно количеству опытов.

Таблица 1.2

Номер опыта, n	х0	Планирование		х1х2	х1^2	х2^2	yu	Кодовое обозначение строки
		х1	х2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	+	-	-	+	+	+	y1	1
2	+	+	-	-	+	+	y2	a
3	+	-	+	-	+	+	y3	b
4	+	+	+	+	+	+	y4	ab
N=4

В табл. 1.2 верхний уровень обозначен +1 (+), нижний -1 (-). Каждая строка матрицы относится к одному из экспериментов, гр.2 - фиктивная переменная х₀=+1 (+), гр.3-4 - значения х₁ и х₂ - собственно планирование, гр. 8 - результаты каждого опыта (y_i), гр. 5-7 - значения переменных х₁ и х₂ - для дальнейших расчетов, гр. 9 - кодовое обозначение строк: 1 - обе переменные на нижнем уровне, ab - обе переменные на верхнем уровне, a - соответствующая переменная х₁ на верхнем уровне, b - х₂ на верхнем уровне.

Кодирование сокращает запись матриц. Так ПФЭ 2² записывается следующим образом: (1), a, b, ab.

При k=2 моделью будет уравнение регрессии вида:

(48)

где: (49)

(50)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия:

(51)

где i, l - номера факторов; х_ij, x_lj - кодированные значения факторов i и l в j-ом опыте.

Формулы (49), (50), (51) получены по МНК.

Матрица планирования для 3^х переменных на 2^х уровнях получается из матрицы 2² при повторении ее дважды: один раз при значении х₃ - на нижнем уровне, второй раз - на верхнем. Это формально равносильно умножению кодовой записи матрицы один раз на единицу, второй - на с. ПФЭ 2³ в кодовом виде записывается: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

Схема построения матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 3 представлена в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Номер опыта	х0	х1	х2	х3
1	+	+	+	+
2	+	-	+	+
3	+	+	-	+
4	+	-	-	+
5	+	+	+	-
6	+	-	+	-
7	+	+	-	-
8	+	-	-	-

Графическая интерпретация - куб с 8 вершинами.

С ростом числа факторов число опытов растет по показательной функции N=2^k и быстро наступает избыточность числа экспериментов по отношению к числу коэффициентов линейной модели. Если можно ограничиться линейным приближением модели, т.е. получить адекватную модель в виде полинома: то число опытов можно резко сократить в результате ДФЭ - дробного факторного эксперимента.