8.3.3. Інтегрування раціональних дробів

Розглянутий в пунктах 1-3 матеріал дозволяє сформулювати загальне правило інтеграції раціональних дробів.

1. Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу (див. пункт 2);

2. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;

3. Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.

Приклад 7. Знайти інтеграл .

 Під знаком інтеграла неправильний дріб; виділимо його цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

_ x⁵ +2x³ +4x+4|x⁴ +2x³ +2x²

х⁵+2x⁴ +2x³ |x–2

_–2x⁴ +4x+4

–2x⁴–4x³–4x²

4x³+4x²+4x+4 (остача).

Отримаємо:

Розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:

,

, тобто

.

Звідси слідує, що

Знаходимо: . Отже

, і

.

Інтегруємо отриману рівність:

.

Позначимо , тодіі. Таким чином

.

Отже

. 

Відзначимо, що будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.

8.4. Інтегрування тригонометричних функцій

8.4.1. Універсальна тригонометрична підстановка

Розглянемо деякі випадки знаходження інтеграла від тригонометричних функцій. Функцію із змінними і, над якими виконуються раціональні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) прийнято позначати, де– знак раціональної функції.

Обчислення невизначених інтегралів типу зводиться до обчислення інтегралів від раціональної функції підстановкою, яка називаєтьсяуніверсальною.

Дійсно.

Тому

де - раціональна функція від . Звичайно, цей спосіб досить громіздкий, зате він завжди приводить до результату.

На практиці застосовують і інші, більш прості підстановки, залежно від властивостей (і вигляду) підінтегральної функції. Зокрема, зручні наступні правила:

1) якщо функція непарна відносно, тобто, то підстановкураціоналізує інтеграл;

2) якщо функція непарна відносно, тобто, то виконується підстановка;

3) якщо функція парна відносноі, тобто, то інтеграл раціоналізується підстановкою. Така ж підстановка застосовується, якщо інтеграл має вигляд.

Приклад 1. Знайти інтеграл

 Зробимо універсальну підстановку . Тоді,. Отже.

Приклад 2. Знайти інтеграл .

 Оскільки

, то вважаємо . Звідси

, і.

Тому.

8.4.2. Інтеграли виду

Для знаходження таких інтегралів використовуються наступні прийоми:

1) підстановка , якщо– ціле додатне непарне число;

2) підстановка , якщо– ціле додатне непарне число;

3) формули пониження порядку: , якщо і- цілі невід’ємні парні числа;

4) підстановка , якщо – є парне від’ємне ціле число.

Приклад 3. Знайти інтеграл .

 Застосуємо підстановку . Тоді,і

. 

Приклад 4. Знайти інтеграл .



.

Приклад 5. Знайти інтеграл .

 Тут . Позначимо. Тоді,і

. 

8.4.3. Використання тригонометричних перетворень

Інтеграли типу ,,обчислюються за допомогою відомих тригонометричних формул:

,

,

.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

 . 

8.5. Інтегрування ірраціональних функцій

8.5.1. Квадратичні ірраціональності

Розглянемо деякі типи інтегралів, що містять ірраціональні функції.

Інтеграли типу, називають невизначеними інтегралами від квадратичних ірраціональностей. Їх можна знайти таким чином: під радикалом виділити повний квадрат

і зробити підстановку . При цьому перші два інтеграли приводяться до табличних, а третій – до суми двох табличних інтегралів.

Приклад 1. Знайти інтеграли .

 Оскільки , то.

Зробимо підстановку,,. Тоді

. 

Приклад 2. Знайти інтеграл .

 Оскільки , то підстановка має вигляд,,. Тоді

. 

Інтеграли типу, де- многочлен степеняможна обчислювати, користуючись формулою

(5.1)

де - многочлен степеняз невизначеними коефіцієнтами,– також невизначений коефіцієнт.

Всі невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, отриманої диференціюванням обох частин рівності (5.1):

, після чого необхідно прирівняти коефіцієнти при однакових степенях невідомої .

Приклад 3. Знайти інтеграл

 По формулі (5.1) маємо:

.

Диференціюючи цю рівність, отримаємо:

, тобто

,

. Порівнюємо коефіцієнти при однакових степенях :

, при

при

при

Звідси. Отже

. 