8.5.2. Дробово-лінійна підстановка

Інтеграли виду , де- дійсні числа,– натуральні числа, зводяться до інтегралів від раціональної функції шляхом підстановки, де– найменше спільне кратне знаменників дробів.

Дійсно, з підстановки виходить, щоі, тобтоівиражаються через раціональні функції від. При цьому і кожний степінь дробувиражається через раціональну функцію від.

Приклад 4. Знайти інтеграл .

 Найменше спільне кратне знаменників дробів іє6. Тому вважаємо ,,, . Отже

. 

Приклад 5.Вказати підстановку для знаходження інтегралів:

 Для підстановка , для підстановка .

8.5.3. Тригонометрична підстановка

Інтеграли типу зводяться до інтегралів від функцій, раціонально залежних від тригонометричних функцій, за допомогою наступних тригонометричних підстановок: для першого інтеграла;для другого інтеграла;для третього інтеграла.

Приклад 6. Знайти інтеграл .

 Покладемо ,, . Тоді

. 

8.5.4. Інтеграли виду

Тут підінтегральна функція є раціональною функцією відносно і. Виділивши під радикалом повний квадрат і зробивши підстановку, інтеграли вказаного типу приводяться до інтегралів вже розглянутого типу, тобто до інтегралів типу,. Ці інтеграли можна обчислити за допомогою відповідних тригонометричних підстановок.

Приклад 7. Знайти інтеграл .

 Оскільки , то ,,. Тому. Покладемо,. Тоді

.

Зауваження: Інтеграл типу доцільно знаходити за допомогою підстановки.

8.5.5. Інтегрування диференціального бінома

Інтеграли типу (названі інтегралами від диференціального бінома), де– дійсні числа;– раціональні числа, беруться, як показав Чебишoв П.А., лише у разі, коли хоча б одне з чисел ,абоє цілим.

Раціоналізація інтеграла в цих випадках здійснюється наступними підстановками:

1) якщо - ціле число, то підстановка, де – найменше спільне кратне знаменників дробів і;

2) якщо - ціле число, то підстановка, де- знаменник дробу .

3) якщо - ціле число, то підстановка , де- знаменник дробу.

У всій решті випадків інтеграли типу не виражаються через відомі елементарні функції, тобто не «беруться».

Приклад 8. Знайти інтеграл .Оскільки то, , . Тому робимо підстановку . Таким чином,

. 

8.6. Інтеграли, що «беруться» і «не беруться»

Як вже наголошувалося вище, операція інтегрування функцій значно складніша за операцію диференціювання функцій. Не завжди вибраний шлях інтеграції є найкращим, більш коротким, простим. Інтегрування часто може бути виконане не єдиним способом. Багато що залежить від рекомендованого знання багатьох штучних прийомів інтегрування, від кмітливості, від натренованості. Наприклад, можна знайти, не використовуючи рекомендовану підстановку, а застосувавши штучний прийом:

.

Навряд чи варто обчислювати інтеграл , розкладаючи підінтегральну функцію на найпростіші дроби:

.

Помітивши, що чисельник є похідною знаменника, легко отримати:

.

На практиці при обчисленні невизначених інтегралів використовують різні довідники, що містять таблиці інтегралів, які часто зустрічаються. Зокрема, «Таблиці невизначених інтегралів» М.Л.Смолянського.

Вивчені методи інтеграції дозволяють у багатьох випадках обчислити невизначений інтеграл, тобто знайти первісну функцію для підінтегральної функції.

Як відомо, всяка неперервна функція має первісну. У тому випадку, коли первісна деякій елементарній функції є також елементарною функцією, говорять, що«береться», тобто інтеграл виражається через елементарні функції (або інтеграл обчислюється). Якщо ж інтеграл не виражається через елементарні функції, то говорять, що інтеграл не «береться» (або «його знайти не можна»).

Так, наприклад, не можна узяти інтеграл , оскільки не існує елементарної функції, похідна від якої б була рівна. Наведемо ще приклади інтегралів, що не «беруться», які мають велике значення в додатках:

- інтеграл Пуассона (теорія імогідності)

- інтегральний логарифм (теорія чисел)

- інтеграли Френеля (фізика)

- інтегральні синус і косинус

- інтегральна показова функція.

Первісні від функції,,і інших добре вивчені, для них складені докладні таблиці значень для різних значень аргументу.