МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 3

з теми: «Інтегрування раціональних дробів.»

Модуль кзн-02. Пр.О.03.07 Невизначений інтеграл.

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Інтегрування раціональних дробів.

Мета:

• Дидактична: навчитися обчислювати первісну, володіти методами інтегрування, знаходити первісну раціональних функцій, трансцендентних та ірраціональних функцій.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: відомості про дробно-раціональні функції; таблиця інтегралів, формули скороченого множення, правила розкладання багаточлену на множники, теорема Безу.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Інтегрування раціональних дробів.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат – невизначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 3.

Тема: Інтегрування раціональних дробів.

План лекції № 3.

1. Інтегрування елементарних раціональних дробів.

2. Загальний випадок інтегрування раціональних дробів.

1. Нехай в чисельнику та знаменнику раціональних дробів стоять багаточлени з дійсними коефіцієнтами, причому коефіцієнт старшого ступеня дорівнює 1.

• Елементарні дроби виду . Якщо n > 1, то. Якщо n = 1, то.

• Елементарні дроби виду . Приведемо знаменник до суми квадратів, маємо:, де.

Якщо положити , будемо мати:

=. Таким чином, обчислення інтегралу зведено до обчислення інтегралів у правій частині рівності.

Якщо n = 1, то ;.

Якщо n > 1, то . Для інтегралуотримаємо за допомогою інтегрування за частинами рекурентну формулу.

.

Інтеграл I1 - обчислений, тому за допомогою рекурентної формули можна обчислити інтеграли І2, І3, …

2. Нехай P(х) та Q(х) – багаточлени, P(х)/Q(х) – раціональний дріб. Раціональний дріб називається правильним, якщо P(х) – нульовий багаточлен чи його ступінь нижче ступеня багаточлену Q(х); неправильним, якщо ступінь багаточлену P(х) не менша, ніж ступінь Q(х).

Будь – який дріб є чи правильним, чи неправильним. Якщо дріб неправильний, то розділяючи чисельник на знаменник за правилом ділення багаточленів, отримаємо: , де R(х)/Q(х) – правильний дріб.

Будь – який раціональний дріб можна представити у вигляді суми багаточлену та правильного раціонального дробу, а кожний правильний раціональний дріб розкладається в суму елементарних раціональних дробів.

Теорема. Нехай - правильний раціональний дріб, P(х) та Q(х) – багаточлени з раціональними коефіцієнтами. Якщо, де х- попарно різні дійсні корні багаточлену Q(х) кратності k, і = 1, 2, …, r, а, де z- попарно різні комплексні числа – корні багаточлену Q(х) кратності m, то існують такі дійсні числа А, і = 1,2,…,r, В, С, j = 1,2,…,s, що=

Теорема. Невизначений інтеграл від будь – якого раціонального дробу на всякому проміжку, на якому її знаменник не дорівнює 0, існує та виражається через елементарні дроби, що є лінійною комбінацією композицій раціональних дробів, логарифмів та арктангенсів.