Многочлен (деякі відомості довідкового характеру)

Функція вигляду

(3.1)

де — натуральне число, — постійні коефіцієнти, називається многочленом (або цілою раціональною функцією).

Число називається степенем многочлена.

Коренем многочлена (3.1) називається таке значення (взагалі кажучи, комплексне) змінної , при якому многочлен перетворюється в нуль, тобто .

Теоремa 8.3.1. Якщо є коренем многочлена , то многочлен ділиться без остачі на тобто

(3.2)

де — многочлен степеня .

Виникає питання: чи всякий многочлен має корінь? Позитивну відповідь на це питання дає наступне твердження.

Теорема 8.3.2. (основна теорема алгебри). Всякий многочлен -го степеня має принаймні один корінь, дійсний або комплексний.

Доведення цієї теореми ми не приводимо. Користуючись основною теоремою алгебри, доведемо теорему про розкладання многочлена на лінійні множники.

Теорема 8.3.3. Всякий многочлен можна подати у вигляді

(3.3)

де — корені многочлена, — коефіцієнт многочлена при .

 Розглянемо многочлен (3.1). По теоремі 8.3.2 він має корінь. Позначимо його через . Тоді має місце співвідношення (3.2). А оскільки— також многочлен, то він має корінь. Позначимо його через.

Тоді , де — многочлен -го степеня. Отже, .

Продовжуючи цей процес, отримаємо у результаті:

. 

Множники в рівності (3.3) називаються лінійними множниками.

Приклад 1. Розкласти многочлен на множники.

 Многочлен перетворюється в нуль при . Отже, . 

Приклад 2. Представити вираз у вигляді добутку лінійних множників.

 Легко перевірити, що 

Якщо в розкладанні многочлена (3.3) який-небудь корінь зустрівся раз, то він називається коренем кратності. У випадку (тобто корінь зустрівся один раз) корінь називається простим.

Розкладання многочлена (3.3) можна записати у вигляді

, (3.4)

якщо корінь має кратність , корінь – кратність і так далі.

При цьому , а – число різних коренів.

Наприклад, розкладання

можна записати так:

.

Користуючись теоремою 31.3, можна довести наступні твердження.

Теорема 8.3.4. Якщо многочлен тотожно рівний нулю, то всі його коефіцієнти рівні нулю.

Теорема 8.3.5. Якщо два многочлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного многочлена рівні відповідним коефіцієнтам іншого.

Наприклад, якщо, , то .

Теорема 8.3.6. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то він має і зв'язаний корінь .

В розкладанні многочлена (3.3) комплексні корені входять спряженими парами. Перемноживши лінійні множники

,

отримаємо тричлен другого степеня з дійсними коефіцієнтами . Насправді, де .

Таким чином, добуток лінійних множників, відповідних зв'язаним кореням, можна замінити квадратним тричленом з дійсними коефіцієнтами.

З урахуванням вищевикладеного справедливий наступний факт.

Теорема 8.3.7. Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на лінійні і квадратні множники з дійсними коефіцієнтами, тобто многочлен можна подати у вигляді

. (3.5)

При цьому всі квадратні тричлени не мають речовинних коренів.

Приклади розкладань (3.5):

1)

2)

3)