Інтегрування раціональних дробів

Розглянутий в пунктах 1-3 матеріал дозволяє сформулювати загальне правило інтеграції раціональних дробів.

1. Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу (див. пункт 2);

2. Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;

3. Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.

Приклад 7. Знайти інтеграл .

 Під знаком інтеграла неправильний дріб; виділимо його цілу частину шляхом ділення чисельника на знаменник:

_ x⁵ +2x³ +4x+4|x⁴ +2x³ +2x²

х⁵+2x⁴ +2x³ |x–2

_–2x⁴ +4x+4

–2x⁴–4x³–4x²

4x³+4x²+4x+4 (остача).

Отримаємо:

Розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби:

,

, тобто

.

Звідси слідує, що

Знаходимо: . Отже

, і

.

Інтегруємо отриману рівність:

.

Позначимо , тоді і . Таким чином

.

Отже

.

Відзначимо, що будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функціях.