4. Примеры цифровых фильтров.

Рассмотрим некоторые классические примеры применения цифровых фильтров (хотя эти применения не всегда представляют как цифровую фильтрацию).

В качестве примера рассмотрим сглаживание данных по методу скользящего среднего (фактически это есть метод наименьших квадратов) как цифровую фильтрацию.

Рассмотрим процесс сглаживания потока данных пятерками, при котором находится среднее значение для 5-ти следующих подряд точек и это значение присваиваивается средней точке соответствующей пятерки:

(16).

Рассмотрим эту процедуру с частотной точки зрения.

Согласно (12), передаточную функцию можно найти как реакцию системы на комплексную синусоиду . Дискретизуем синусоиду с временным интервалом, равным единице. В результате получим входную последовательность значений .

Подставляя эту последовательность в (16), получим выходную последовательность

(17).

Отсюда получим выражение для передаточной функции:

(18).

Очевидно, является периодической функцией от .

Однако из-за исходной дискретизации с временным интервалом Т=1 частотный интервал Найквиста равен 1/T=1 и передаточная функция имеет смысл лишь на этом интервале. кроме того, поскольку передаточная функция является четной относительно нулевой частоты, то имеет смысл рассматривать ее на положительной половине частотного интервала Найквиста.

Для сглаживания по m точкам получим передаточную функцию :

(19).

На рис.3 показан график передаточной функции для m=3,5,9.

Рис.3 Передаточная функция сглаживающего фильтра по методу скользящего среднего.

Из рисунка видно, что нулевая частота передается через сглаживающий фильтр без изменения, а остальные частоты претерпевают ослабление . При этом чем больше слагаемых используется для сглаживания, тем значительнее ослабляются высокие частоты. Если посмотреть с частотной точки зрения другие формулы сглаживания, приняв при этом предположение, что такие формулы исходно предназначены для удаления случайных флуктуаций данных (шума)

таким образом сглаживание данных есть не что иное как ослабление высокочастотных составляющих сигналов, с которыми ( как будет показано ниже ) отождествляются шумовые составляющие . Другими словами , сглаживающий фильтр осуществляет удаление случайной шумовой компоненты из входного сигнала, выделяя из него информативную часть- собственно сигнал.

Иногда удобнее задавать фильтр в частотной области, а затем определить его вид во временной. Хорошим примером такой системы, которая эффективно описывается в частотной области, является низкочастотный фильтр, пропускающий только полосу частот , где -частота среза , пределы изменения которой , где - частота Найквиста. Очевидно, что передаточная функция такого фильтра будет иметь следующий вид:

(9),

Легко видеть, что такой фильтр полностью удаляет из входного сигнала компоненты с частотой вне заданной полосы.