- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.1. 9.2.
- •9.23 . 9.24.
- •9.47 . 9.48.
- •9.89 . 9.90.
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.131 . 9.132. 9.133.
- •9.161 ,. 9.162,.
- •9.163 ,. 9.164,,.
- •9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
- •9.171 . 9.172.
- •9.191 .
- •9.245 9.246
- •9.263 9.264
- •9.273 9.274
- •9.281 .
- •9.313. 9.314 .
- •9.323 . 9.324.
- •9.325 . 9.326.
- •9.327 . 9.328.
- •9.331 .
- •9.349 ,,;
- •10.1 . 10.2 .
- •10.3 . 10.4.
- •10.5 . 10.6.
9.323 . 9.324.
9.325 . 9.326.
9.327 . 9.328.
В задачах 9.329-9.330 найти частные решения уравнений в частных производных первого порядка, удовлетворяющие указанным условиям.
9.329 ;при .
9.330 ;при .
Уравнение вида
=0,
где -неизвестная функция от независимых переменных;,,,- заданные в областифункции своих аргументов, называетсяквазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Его тип определяется знаком выражения . А именно:1) если в некоторой точке, то уравнение имеетэллиптический тип в этой точке; 2) если , то уравнение имеетгиперболический тип; 3) если , то уравнение имеетпараболический тип. Данное уравнение может менять свой тип при переходе из одной точки области в другую. Например, уравнениеявляется уравнением эллиптического типа в точках плоскости,, параболического типа в точкахи гиперболического типа в точках,.
Уравнение называетсяхарактеристическим, а его общие интегралы и-характеристиками уравнения в частных производных.
Характеристики используются для приведения квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду.
Для уравнения гиперболического типа () характеристики действительны и различны. Подстановкойи, уравнение приводится к каноническому виду
.
Для уравнения эллиптического типа () характеристики комплексные и комплексно сопряжены (). Подстановкойи, уравнение приводится к каноническому виду.
Для уравнения параболического типа () имеется только одна характеристика. Подстановкойи, где- произвольная функция, независимая суравнение приводится к каноническому виду.
В задачах 9.331-9.339 определить тип дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и привести их к каноническому виду.
9.331 .
9.332 .
9.333 .
9.334 .
9.335 .
9.336 .
9.337 .
9.338 .
9.339 .
В задачах 9.340-9.345 , используя формулу Даламбера
, найти
решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой:
; ;
9.340 ,,.
9.341 ,,.
9.342 ,,.
9.343 ,,.
9.344 ,,.
9.345 ,,.
Задачей Штурма-Лиувилля называется задача о нахождении отличных от нуля решений (собственных функций) ,, дифференциального уравнения, удовлетворяющих граничным условиям вида,, где- заданные числа, а также о нахождении значений параметра(собственных значений), при которых существуют такие решения.
В задачах 9.346-9.348 найти собственные числа и собственные функции следующих задач Штурма-Лиувилля.
9.346 ,.
9.347 ,.
9.348 ,.
Метод Фурье является одним из наиболее распространённых аналитических методов решения уравнений математической физики и состоит в следующем. Искомая функция , зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Например, если, то функцияищется в виде; если, то - в виде. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций этих задач Штурма-Лиувилля.
В задачах 9.349-9.352 найти решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения на отрезке методом Фурье.