9.4. Моделирование в условиях определенности

Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции C_x=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет C_p =400 рублей.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год - слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год - p = N / n 24000 /n.

Получается, что интервал времени между партиями составляет t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе - n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно - 0.1  12  n / 2 рублей на складские расходы в год и 400p рублей за запуск партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E = Tn / 2 + N / n {9 - 2}

где T = 12 - полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n₀, при котором сумма E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто - надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает

n₀ = , {9 - 3}

что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.

Затраты при этом минимальны и определяются как

E₀ = , {9 - 4}

что для нашего примера составляет 4800 рублей в год.

Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):

E₁ = 0.1122000/2 + 40024000/ 2000 = 6000 рублей в год.

Комментарии, как говорится, - излишни!

Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы - ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа:

E = a₁X₁ + a₂X₂ + ..... a_nX_n {9 - 5}

где X_i - искомые переменные, a_i - соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют место ограничения, как на переменные, так и на их веса.

Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики - линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a, X), которые так и назвали - целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас - служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.

Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений, как в области теории анализа, так и в практике.

Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими.

Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.

 Задачи управления запасами

Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году - задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи - минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение - размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.

Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях - изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и/или “скидок за количество”); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.

 Задачи распределения ресурсов

В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.

Цель системного анализа - найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.

Объединяет все такие задачи метод их решения - метод математического программирования, в частности, - линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так: требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции) E(X) = C₁X₁ + C₂X₂ + ......+ C_iX_i + ... C_nX_n {9 - 6}

при следующих условиях: все X_i положительны и, кроме того, на все X_i налагаются m ограничений (m < n)

A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A_ijX_j + ... A_1nX_n = B_1;

A_i1X₁ + A_i2X₂ + ... + A_ijX_j + ... A_inX_n = B_i; {9 - 7}

A_m1X₁ + A_m2X₂ + ... + A_mjX_j+ ... A_mnX_n = B_{m .}

Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д. Данцигом (по другой версии - Л.В. Канторовичем).

Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.