Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен

. (3.15)

Следовательно,

L_z = I_z  . (3.16)

Рассмотрим более подробно величину, называемую моментом инерции тела относительно оси вращения.

Характер вращения тела вокруг неподвижной оси определяется не только моментом силы , но находится в за­висимости от величины, обуславливающей инертность тела во враща­тельном движении.Опытным путем установлено, что на величину уг­лового ускорения вращающегося тела оказывает влияние не только его масса, но и характер ее распределения относительно оси враще­ния. Таким образом, масса m не может служить однозначной харак­теристикой инертности тела во вращательном движении и поэтому вво­дится новая скалярная величина  момент инерции тела I, которая учитывает оба эти обстоятельства.

Момент инерции I  скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении, зависящая от массы тела и ее распределения относительно оси вращения. Для материальной точки тела момент инерции численно ра­вен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения

I _м.т. = m ²_i . (3.17)

Для суммы n отдельных материальных точек, в соответствии с принципом аддитивности, момент инерции

. (3.18)

Для определения момента инерции абсолютно твердого тела любой формы выделим в нем элемент массы , отстоящий на расстоянии _i от оси вращения. Тогда, в силу (3.18) и возможности представле­ния твердого тела в виде совокупности материальных точек массы , момент инерции тела

I =. (3.19)

Расчет моментов инерции неоднородных тел и тел неправильной формы сложная математическая задача, часто моменты таких тел определяются экспериментально.

Моменты инерции I_О некоторых однородных тел геометрически правильной формы относительно оси симметрии приводятся в справоч­ной литературе:

I) момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) от­носительно оси цилиндра

I_О = mR², (3.20)

где R  радиус цилиндра; m  его масса.

2) момент инерции тонкостенного полого цилиндра (кольца)

I_О = mR² ; (3.21)

3) момент инерции однородного шара радиуса R

I_О =mR² ;

4) момент инерции однородного стержня длиной

I_О =m l² . (3.22)

Одно и то же тело имеет различные моменты инерции в зависи­мости от положения неподвижной оси вращения. Если ось вращения не проходит через центр инерции (не совпадает с осью симметрии), то момент инерции тела определяется по теореме Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_О относительно оси, параллель­ной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

I = I_О + md² . (3.23)

Пример. Для однородного шара массой и радиусом R (рис. 3.3) момент инерции относительно оси ОО^/, проходящей через центр инерции, I_О =mR² . Момент инерции шара относительно оси , каса­тельной к поверхности шара и параллельной осиОО, согласно (3.23),

I = I_О + mR² = mR² +mR² = mR².

Из формулы (3.16) следует, что основное уравнение (3.13) динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Оz, можно представить в такой форме:

или , (3.24)

где  угловое ускорение тела.