- •Э.М. Нуруллаев., н.А. Вдовин
- •Оглавление
- •Введение
- •Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твердого тела
- •1.1. Поступательное движение
- •1.2. Вращательное движение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Фундаментальные взаимодействия
- •2.2. Основные характеристики динамики Ньютона
- •2.3. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета
- •2.4. Масса и закон сохранения импульса
- •2.5. Второй закон Ньютона
- •2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса
- •2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея
- •2.8. Основной закон динамики поступательного движения и закон сохранения импульса для системы материальных точек
- •2.9. Некоторые силы, рассматриваемые в механике
- •2.10. Практическое применение законов Ньютона
- •2.11. Движение тела с переменной массой
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.1. Основной закон динамики вращательного движения
- •Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен
- •3.2. Закон сохранения момента импульса
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Работа, мощность, энергия
- •4.1. Работа и мощность при поступательном движении
- •4.2. Работа и мощность при вращательном движении
- •4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •4.5. Потенциальная энергия
- •4.6. Силы и потенциальная энергия
- •4.7. Закон сохранения энергии
- •4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел
- •5. Колебательное движение
- •5.1. Механические колебания
- •5.2. Гармонические колебания
- •5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания
- •5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания
- •Потенциальная энергия
- •5.3. Маятник
- •5.3.1. Математический маятник
- •5.3.2. Физический маятник
- •5.4. Сложение гармонических колебаний
- •5.4.1. Сложение колебаний одной частоты, направленных вдоль одной прямой
- •5.4.2. Биения
- •5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.5. Затухающие колебания
- •Согласно формуле (5.5) период затухающих колебаний
- •5.6. Вынужденные колебания
- •6. Упругие волны
- •6.1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны
- •6.2. Энергия упругих волн. Вектор Умова
- •6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
- •Для характеристики волн используется волновое число
- •Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид
- •6.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •6.5.Интерференция волн
- •6.6. Стоячие волны
- •7. Молекулярная физика
- •7.1. Предмет молекулярной физики и термодинамики. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем
- •7.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •7.3. Газообразное состояние вещества. Идеальный газ
- •7.4. Параметры состояния идеального газа
- •7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (уравнение Клаузиуса) и следствия из него
- •Уравнение (4) с учетом (5) примет вид
- •Произведение na равно числу молекул n, содержащихся в массе газа m. С учетом этого получим
- •А с учетом того, что число молекул в единице объема, можно записать:
- •7.6. Закон Максвелла распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям
- •7.8. Идеальный газ в однородном поле тяготения.
- •7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.11.Реальные газы
- •7.13. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля – Томсона
- •7.14. Элементы механики жидкостей. Давление в жидкости и газе
- •7.15. Уравнение Бернулли
- •7.16.Движение тел в жидкостях и газах
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия, работа и теплота
- •В случае идеального газа нет сил межмолекулярного взаимодействия и внутренняя энергия равна сумме энергий беспорядочного (теплового) движения всех молекул.
- •8.2. Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы системы
- •Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа
- •8.3. Работа и теплота
- •8.4. Первое начало термодинамики
- •8.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •8.6. Политропические процессы
- •8.7. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его кпд
- •8.8. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Применение второго начала термодинамики для определения изменения энтропии в процессах идеального газа
- •8.11. Третье начало термодинамики, или теорема Нернста – Планка
- •Список литературы
5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания
Сила прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия, т.е. F = kx. Подставив в это выражение значения k и x из (5.2) и (5.4), получим:
F = Acos (0 t +) = ma .
Как видно из этого выражения, период и фаза силы совпадает с периодом и фазой ускорения.
Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Еп,max :
E = Еп,max = . (5.11)
При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Ек,max :
E = Eк,max= . (5.12)
Выясним, как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания. Кинетическая энергия (с учетом выражения (5.9))
Eк = sin2 (0 t + ) . (5.13)
Потенциальная энергия
Еп = cos2 (0 t + ) . (5.14)
Складывая (5.13) с (5.14) и принимая во внимание, что , получим формулу для полной энергии:
. (5.15)
5.3. Маятник
В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием квазиупругой силы колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее часто рассматривают математический и физический маятники.
5.3.1. Математический маятник
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело масса которого сосредоточена в одной точке, и которое совершает колебательное движение под действием силы тяжести.Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.
Выведем уравнение движения математического маятника. Отклонение его от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 5.3). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin (m – масса, l – длина маятника). Этот момент направлен так, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и его действие аналогично действию квазиупругой силы. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, проекциям момента М и углового смещения на ось z нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид:
M = mgl sin . (5.16)
Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначим угловое ускорение через . Учитывая, что момент инерции маятникаI = ml2 (момент инерции для материальной точки), получим
ml2 = mgl sin (5.17)
Разделив обе части уравнения на (ml) и введя обозначение
, (5.18)
выражение (5.16) можно переписать в виде
. (5.19)
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда можно положить
sin. (5.20)
С учетом (5.20) выражение (5.19) примет вид
. (5.21)
Уравнение (5.21) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Его решение имеет вид
= A cos (0 t +) . (5.22)
Следовательно, при малых колебаниях угловое смещение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.
Как следует из (5.18), частота колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника и не зависит от его массы. Формула (5.5) с учетом (5.18) дает выражение для периода колебаний математического маятника:
. (5.23)