- •Э.М. Нуруллаев., н.А. Вдовин
- •Оглавление
- •Введение
- •Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твердого тела
- •1.1. Поступательное движение
- •1.2. Вращательное движение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Фундаментальные взаимодействия
- •2.2. Основные характеристики динамики Ньютона
- •2.3. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета
- •2.4. Масса и закон сохранения импульса
- •2.5. Второй закон Ньютона
- •2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса
- •2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея
- •2.8. Основной закон динамики поступательного движения и закон сохранения импульса для системы материальных точек
- •2.9. Некоторые силы, рассматриваемые в механике
- •2.10. Практическое применение законов Ньютона
- •2.11. Движение тела с переменной массой
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.1. Основной закон динамики вращательного движения
- •Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен
- •3.2. Закон сохранения момента импульса
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Работа, мощность, энергия
- •4.1. Работа и мощность при поступательном движении
- •4.2. Работа и мощность при вращательном движении
- •4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •4.5. Потенциальная энергия
- •4.6. Силы и потенциальная энергия
- •4.7. Закон сохранения энергии
- •4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел
- •5. Колебательное движение
- •5.1. Механические колебания
- •5.2. Гармонические колебания
- •5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания
- •5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания
- •Потенциальная энергия
- •5.3. Маятник
- •5.3.1. Математический маятник
- •5.3.2. Физический маятник
- •5.4. Сложение гармонических колебаний
- •5.4.1. Сложение колебаний одной частоты, направленных вдоль одной прямой
- •5.4.2. Биения
- •5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.5. Затухающие колебания
- •Согласно формуле (5.5) период затухающих колебаний
- •5.6. Вынужденные колебания
- •6. Упругие волны
- •6.1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны
- •6.2. Энергия упругих волн. Вектор Умова
- •6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
- •Для характеристики волн используется волновое число
- •Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид
- •6.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •6.5.Интерференция волн
- •6.6. Стоячие волны
- •7. Молекулярная физика
- •7.1. Предмет молекулярной физики и термодинамики. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем
- •7.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •7.3. Газообразное состояние вещества. Идеальный газ
- •7.4. Параметры состояния идеального газа
- •7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (уравнение Клаузиуса) и следствия из него
- •Уравнение (4) с учетом (5) примет вид
- •Произведение na равно числу молекул n, содержащихся в массе газа m. С учетом этого получим
- •А с учетом того, что число молекул в единице объема, можно записать:
- •7.6. Закон Максвелла распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям
- •7.8. Идеальный газ в однородном поле тяготения.
- •7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.11.Реальные газы
- •7.13. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля – Томсона
- •7.14. Элементы механики жидкостей. Давление в жидкости и газе
- •7.15. Уравнение Бернулли
- •7.16.Движение тел в жидкостях и газах
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия, работа и теплота
- •В случае идеального газа нет сил межмолекулярного взаимодействия и внутренняя энергия равна сумме энергий беспорядочного (теплового) движения всех молекул.
- •8.2. Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы системы
- •Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа
- •8.3. Работа и теплота
- •8.4. Первое начало термодинамики
- •8.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •8.6. Политропические процессы
- •8.7. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его кпд
- •8.8. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Применение второго начала термодинамики для определения изменения энтропии в процессах идеального газа
- •8.11. Третье начало термодинамики, или теорема Нернста – Планка
- •Список литературы
7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
До сих пор мы предполагали, что молекулы газа – материальные точки, т.е. имеют исчезающее малые размеры. Это позволило не учитывать соударения между хаотически движущимися молекулами. В действительности молекулы имеют конечные размеры и непрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, проходя при этом расстояния l, называемые длинами свободных пробегов. Так как эти расстояния могут быть самыми разными, вводится понятиесредней длины свободного пробега .
Чтобы найти , будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики некоторого диаметраd. Подdпонимают то наименьшее расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,эффективный диаметр молекулы(рис. 7.11).
Площадь круга диаметром d=d2называетсяэффективным сечением молекулы.
Если среднее число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени, обозначить через , тосредняя длина свободного пробегазаписывается в виде
Подсчитаем в предположении, что молекулыупругие шарики диаметромd; все молекулы, кроме рассматриваемой нами, неподвижны. Вследствие непрерывных столкновений молекула движется по некоторой ломаной линии, при этом за единицу времени она столкнется со всеми молекулами, лежащими внутри коленчатого цилиндра диаметром 2dи длиной(рис. 7.12). Умножив объем этого цилиндраd2на концентрацию молекулn, найдем:
= d 2 n . (7.29)
Если учесть, что в движении участвуют все молекулы, то число столкновений определяется средней скоростью движения молекул по от- ношению друг к другу (относительной скоростью), и это приводит к увеличению числа столкновений в раз или
=d 2 n . (7.30)
Подставив (7.30) в (7.28), получим среднюю длину свободного пробега
(7.31)
или при определении через эффективное сечение молекул
. (7.32)
Так как , то формулу (7.31) можно записать в виде:
. (7.33)
При некотором давлении средняя длина свободного пробега может оказаться равной или даже больше линейных размеров сосуда.Такое состояние газа, при котором больше размеров сосуда или равна им, называется вакуумом. В состоянии вакуума между молекулами газа практически отсутствуют столкновения, хотя концентрация молекул при этом весьма значительна (прир= 103мм рт. ст.n1019 м3 ).
7.10. Явления переноса в газах
При отсутствии равновесия в газе всегда имеется пространственная неоднородность тех или иных его параметров – плотности, давления, температуры. Если такой газ предоставить самому себе, то хаотическое движение молекул постепенно выравнивает эти неоднородности и газ приходит в состояние термодинамического равновесия.
Явления выравнивания сопровождаются направленным переносом ряда физических величин: массы, импульса, энергии, электрического заряда и т. д. и поэтому называютявлениями переноса.
К явлениям переноса относятся диффузия (обусловленная переносом массы), теплопроводность (обусловленная переносом энергии) и внутреннее трение или вязкость (обусловленная переносом импульса). В основе всех явлений переноса лежит один и тот же следующий механизм: беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность (градиент) плотности, температуры, или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то тепловое движение молекул выравнивает эти неоднородности. Таким образом, явления переноса возникают вследствие наложения хаотического движения молекул окружающей среды на упорядоченное перемещение молекул в отдельных слоях газа.
Диффузия. Диффузия в газе – это процесс перемешивания молекул, сопровождающийся переносом массы из мест с большей концентрацией (плотностью) данных молекул в места с меньшей концентрацией этих молекул. Таким образом, в процессе диффузии переносится масса, а изменяющейся величиной является плотность газа .
Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:
, (7.34)
где Jm – плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x:
;
D– коэффициент диффузии;градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.
Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки Jm ипротивоположны). Коэффициент диффузииDчисленно равен плотности потока массы при единичном градиенте плотности. Согласно кинетической теории газов
. (7.35)
Теплопроводность.Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур.
Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:
, (7.36)
где JE–плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x:
;
коэффициент теплопроводности; градиент температуры, равный изменению температуры на единицу длиныxв направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности тепловая энергия переносится в направлении убывания температуры. Коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового потока при единичном градиенте температуры.
Можно показать, что
, (7.37)
где cV– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме);плотность газа;средняя скорость теплового движения молекул;средняя длина свободного пробега.
Внутреннее трение (вязкость). Вязкость – это возникновение сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями.
Рассмотрим два слоя газа, движущиеся параллельно друг другу со скоростями v1иv2, причемv1 < v2. Благодаря тепловому движению молекулы переходят из слоя 1, движущегося со скоростьюv1, в слой 2, движущейся со скоростьюv2, (см. рис. 7.13). При этом молекулы из слоя 1 переносят в слой 2 импульсmv1своего упорядоченного движения. Так какv1 < v2, то молекулы из слоя 1, соударяясь с молекулами слоя 2, отбирают у них часть импульса и замедляют движение слоя 1. Наоборот, при попадании молекул из слоя 2 в слой 1 они отдают часть импульса молекулам слоя 1 и ускоряют движение этого слоя.
Таким образом, со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущийся слой. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.
Явление вязкости сопровождается переносом импульса направленного движения из более быстрых слоев в более медленные в направлении z, перпендикулярном направлениюxдвижения слов газа.
Сила внутреннего трения описывается законом Ньютона:
, (7.38)
где коэффициент динамической вязкости;градиент скорости, показывающий изменение скорости в направленииx, перпендикулярном направлению движения слоев;S– площадь, на которую действует силаF.
Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (7.38) можно представить в виде
, (7.39)
где Jp–плотность потока импульса – величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси x через единичную площадку, перпендикулярную этой оси:
.
Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости, градиент скорости.
Динамическая вязкость численно равна плотности потока импульса при единичном градиенте скорости. Она вычисляется по формуле
. (7.40)
Из сопоставления формул (7.34), (7.36) и (7.39), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой.
Формулы (7.35), (7.37) и (7.40) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул.
Из этих формул вытекают простые зависимости между D и:
= D , / ( cV ) = 1.
Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.