- •Э.М. Нуруллаев., н.А. Вдовин
- •Оглавление
- •Введение
- •Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твердого тела
- •1.1. Поступательное движение
- •1.2. Вращательное движение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Фундаментальные взаимодействия
- •2.2. Основные характеристики динамики Ньютона
- •2.3. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета
- •2.4. Масса и закон сохранения импульса
- •2.5. Второй закон Ньютона
- •2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса
- •2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея
- •2.8. Основной закон динамики поступательного движения и закон сохранения импульса для системы материальных точек
- •2.9. Некоторые силы, рассматриваемые в механике
- •2.10. Практическое применение законов Ньютона
- •2.11. Движение тела с переменной массой
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.1. Основной закон динамики вращательного движения
- •Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен
- •3.2. Закон сохранения момента импульса
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Работа, мощность, энергия
- •4.1. Работа и мощность при поступательном движении
- •4.2. Работа и мощность при вращательном движении
- •4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •4.5. Потенциальная энергия
- •4.6. Силы и потенциальная энергия
- •4.7. Закон сохранения энергии
- •4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел
- •5. Колебательное движение
- •5.1. Механические колебания
- •5.2. Гармонические колебания
- •5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания
- •5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания
- •Потенциальная энергия
- •5.3. Маятник
- •5.3.1. Математический маятник
- •5.3.2. Физический маятник
- •5.4. Сложение гармонических колебаний
- •5.4.1. Сложение колебаний одной частоты, направленных вдоль одной прямой
- •5.4.2. Биения
- •5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.5. Затухающие колебания
- •Согласно формуле (5.5) период затухающих колебаний
- •5.6. Вынужденные колебания
- •6. Упругие волны
- •6.1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны
- •6.2. Энергия упругих волн. Вектор Умова
- •6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
- •Для характеристики волн используется волновое число
- •Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид
- •6.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •6.5.Интерференция волн
- •6.6. Стоячие волны
- •7. Молекулярная физика
- •7.1. Предмет молекулярной физики и термодинамики. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем
- •7.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •7.3. Газообразное состояние вещества. Идеальный газ
- •7.4. Параметры состояния идеального газа
- •7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (уравнение Клаузиуса) и следствия из него
- •Уравнение (4) с учетом (5) примет вид
- •Произведение na равно числу молекул n, содержащихся в массе газа m. С учетом этого получим
- •А с учетом того, что число молекул в единице объема, можно записать:
- •7.6. Закон Максвелла распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям
- •7.8. Идеальный газ в однородном поле тяготения.
- •7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.11.Реальные газы
- •7.13. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля – Томсона
- •7.14. Элементы механики жидкостей. Давление в жидкости и газе
- •7.15. Уравнение Бернулли
- •7.16.Движение тел в жидкостях и газах
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия, работа и теплота
- •В случае идеального газа нет сил межмолекулярного взаимодействия и внутренняя энергия равна сумме энергий беспорядочного (теплового) движения всех молекул.
- •8.2. Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы системы
- •Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа
- •8.3. Работа и теплота
- •8.4. Первое начало термодинамики
- •8.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •8.6. Политропические процессы
- •8.7. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его кпд
- •8.8. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Применение второго начала термодинамики для определения изменения энтропии в процессах идеального газа
- •8.11. Третье начало термодинамики, или теорема Нернста – Планка
- •Список литературы
4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела
Если вращающееся тело в процессе движения совершает работу Авр и при этом тормозится, изменяя угловую скорость от ω1 до 2 (1 > 2), то работа тормозящего момента силы определяется формулой (4.8), причем
M = I = I (d/dt) .
Следовательно, изменение энергии тела можно представить в виде:
или
. (4.16)
Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.
4.5. Потенциальная энергия
Тело обладает не только энергией движения, но и энергией взаимодействия с другими телами. Однако пока тело неподвижно, запас его энергии никак не проявляется. Энергия существует скрыто, и можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передавать свою энергию другим телам.
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина и т.д. Следует, однако, отметить, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие может характеризоваться потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел может характеризоваться потенциальной энергией, если между ними действуют консервативные силы.
В каждом конкретном случае величина потенциальной энергии зависит от характера взаимодействия и взаимного расположения тел (или частей тел). Потенциальная энергия физической системы может изменяться, если действующие силы совершают работу:
Еп = –А = А′. (4.17)
Здесь А – работа внутренних, а А′ – работа внешних для данной системы сил. Знак «минус» показывает, что внутренние силы совершают работу за счет убыли потенциальной энергии.
Получим формулы для вычисления потенциальной энергии в двух практически важных случаях: 1 – для сил тяготения, 2 – для упругих сил.
1. Найдем работу, которую совершает сила тяготения со стороны Земли, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте h1 над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте h2. Перемещение может происходить по любому пути (рис. 4.4).
Элементарная работа, совершаемая силой тяготения при бесконечно малом перемещении dr
соs . (4.18)
Полная работа на конечном участке пути
. (4.19)
Здесь учтено, что проекция перемещения dr на направление h отрицательна и dr cos = dh.
Из уравнения (4.19) видно, что работа, совершаемая силой тяготения при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положения тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это означает, что силы тяготения являются консервативными.
Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная Еп по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в некотором положении выбирают нулевой, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Обычно таким нулевым уровнем отсчета выбирают поверхность Земли. Тогда потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h
Eп = mgh . (4.20)
Говоря об энергии, следует иметь в виду, что она всегда характеризует систему, состоящую, по крайней мере, из двух тел, и нет смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.
Как видно из формулы (4.19), работа, совершаемая силой тяготения при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы. Таким образом, когда потенциальная энергия тела уменьшается, работа силы тяготения положительна, и наоборот. Сила тяжести в данной системе является внутренней.
2. Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел. Теперь рассмотрим потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела, например от расстояния между соседними витками растянутой или сжатой пружины.
Опыт показывает, что для того чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму под действием силы упругости и совершает при этом работу.
Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удлинении пружины от величины х1 до величины х2 (х1 < х2).
Сила упругости пропорциональна деформации: Fx упр = – kx , где Fх упр – проекция силы упругости на ось х; k – коэффициент упругости, а знак минус указывает, что Fх упр. направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.
Fx = – Fx упр. = kx .
Элементарная работа dA, совершаемая внешней силой Fx при малой деформации dx, равна
dA = Fx dx = kxdx,
а полная работа
. (4.21)
Из формулы (4.21) видно, что произведенная работа не зависит от того, каким образом произошло изменение длины пружины. Упругая сила, также как и сила тяготения, консервативна.
Принимая за нулевую потенциальную энергию недеформированной пружины (Еп = 0 при х = 0), получаем выражение потенциальной энергии деформированной пружины в виде
Еп,упр. = kx2/2 . (4.22)
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.