- •Э.М. Нуруллаев., н.А. Вдовин
- •Оглавление
- •Введение
- •Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твердого тела
- •1.1. Поступательное движение
- •1.2. Вращательное движение
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Фундаментальные взаимодействия
- •2.2. Основные характеристики динамики Ньютона
- •2.3. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета
- •2.4. Масса и закон сохранения импульса
- •2.5. Второй закон Ньютона
- •2.6. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса
- •2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея
- •2.8. Основной закон динамики поступательного движения и закон сохранения импульса для системы материальных точек
- •2.9. Некоторые силы, рассматриваемые в механике
- •2.10. Практическое применение законов Ньютона
- •2.11. Движение тела с переменной массой
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.1. Основной закон динамики вращательного движения
- •Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен
- •3.2. Закон сохранения момента импульса
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Работа, мощность, энергия
- •4.1. Работа и мощность при поступательном движении
- •4.2. Работа и мощность при вращательном движении
- •4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении
- •4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела
- •4.5. Потенциальная энергия
- •4.6. Силы и потенциальная энергия
- •4.7. Закон сохранения энергии
- •4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел
- •5. Колебательное движение
- •5.1. Механические колебания
- •5.2. Гармонические колебания
- •5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания
- •5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания
- •Потенциальная энергия
- •5.3. Маятник
- •5.3.1. Математический маятник
- •5.3.2. Физический маятник
- •5.4. Сложение гармонических колебаний
- •5.4.1. Сложение колебаний одной частоты, направленных вдоль одной прямой
- •5.4.2. Биения
- •5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.5. Затухающие колебания
- •Согласно формуле (5.5) период затухающих колебаний
- •5.6. Вынужденные колебания
- •6. Упругие волны
- •6.1. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны
- •6.2. Энергия упругих волн. Вектор Умова
- •6.3. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение
- •Для характеристики волн используется волновое число
- •Учитывая (6.8), уравнению (6.7) можно придать вид
- •6.4. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •6.5.Интерференция волн
- •6.6. Стоячие волны
- •7. Молекулярная физика
- •7.1. Предмет молекулярной физики и термодинамики. Статистический и термодинамический методы изучения макроскопических систем
- •7.2. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •7.3. Газообразное состояние вещества. Идеальный газ
- •7.4. Параметры состояния идеального газа
- •7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (уравнение Клаузиуса) и следствия из него
- •Уравнение (4) с учетом (5) примет вид
- •Произведение na равно числу молекул n, содержащихся в массе газа m. С учетом этого получим
- •А с учетом того, что число молекул в единице объема, можно записать:
- •7.6. Закон Максвелла распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям
- •7.8. Идеальный газ в однородном поле тяготения.
- •7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
- •7.10. Явления переноса в газах
- •7.11.Реальные газы
- •7.13. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля – Томсона
- •7.14. Элементы механики жидкостей. Давление в жидкости и газе
- •7.15. Уравнение Бернулли
- •7.16.Движение тел в жидкостях и газах
- •8. Термодинамика
- •8.1. Внутренняя энергия, работа и теплота
- •В случае идеального газа нет сил межмолекулярного взаимодействия и внутренняя энергия равна сумме энергий беспорядочного (теплового) движения всех молекул.
- •8.2. Внутренняя энергия идеального газа. Степени свободы системы
- •Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа
- •8.3. Работа и теплота
- •8.4. Первое начало термодинамики
- •8.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе
- •8.6. Политропические процессы
- •8.7. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его кпд
- •8.8. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
- •8.9. Второе начало термодинамики
- •8.10. Применение второго начала термодинамики для определения изменения энтропии в процессах идеального газа
- •8.11. Третье начало термодинамики, или теорема Нернста – Планка
- •Список литературы
4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел
Рассмотрим применение законов сохранения механической энергии и импульса к расчету абсолютно упругого центрального удара двух тел.
Абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.
В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе она, кроме того, консервативна. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, т.е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем
. (4.31)
По закону сохранения импульса
. (4.32)
При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой – линии удара. Поэтому из (4.32) следует, что
, (4.33)
где v1, v2 , u1 и u2 проекции векторов и на ось координат, параллельную линии удара. Совместное решение уравнений (4.31) и (4.33) дает
, . (4.34)
В формулах (4.34) скорости v1 и v2 могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов и .
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Массы шаров одинаковы (m1 = m2 = m). Тогда из выражения (4.34) следует, что
u1 = v2 , u2 = v1 ,
т.е. при ударе шары обмениваются скоростями.
2. Масса второго шара во много раз больше массы первого (m2 >>m1). Тогда
u12v2 – v1 , u2 v2 .
Если при этом второй шар до удара был неподвижен (v2 = 0), то
u1 = v1 , u2 = 0 ,
т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью u1 = v1 .
При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается. Из выражения (4.35), положив u1 = u2 = u, найдем скорость движения шаров после абсолютно неупругого удара:
.
В заключение приводятся таблица аналогий в описании поступательного и вращательного движений (характеристики и законы).
Таблица 4.1
Аналогии в описании поступательного и вращательного движений
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Nпост =Fτ v |
Nвр = Мврω |
Вопросы для самоконтроля
Какая величина называется энергией, а какая – работой?
Какая из двух величин – энергия и работа – является функцией состояния, а какая – процесса?
Как выражается в поступательном движении механическая работа: а) постоянной силы, направленной под углом к перемещению; б) нескольких постоянных сил; в) переменной силы; г) силы упругости; д) силы тяготения?
Изобразить графически работу: а) постоянной силы; б) переменной силы;
Как выражается работа во вращательном движении: а) при М = const; б) при М = f(t) ?
Какая величина называется мощностью?
Как записывается выражение средней мощности и мгновенной мощности?
Каково выражение мощности во вращательном движении?
Какая энергия называется кинетической, а какая – потенциальной?
Как выражается кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях?
Какие системы называются консервативными, а какие диссипативными?
Какие силы называются консервативными, какие – неконсервативными?
Сформулируйте закон сохранения энергии.
Как выражается потенциальная энергия?
Какой удар называется абсолютно упругим, какой – абсолютно неупругим?
Написать законы сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.