4.2. Работа и мощность при вращательном движении

Обсудим способ расчета совершенной работы при вращательном движении тела. Пусть сила F приложена к точке В тела, находящейся от оси вращения на расстоянии r, угол между направлением силы и радиусом-вектором обозначим. Работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол d точка В проходит путь ds = rd , так что работа

dA = F sin  r d .

Учитывая, что момент силы относительно оси M_z = Frsin , можно записать:

dA= M_z d. (4.7)

При повороте тела на конечный угол  работа равна интегральной сумме элементарных работ:

. (4.8)

В частном случае M_z= const

А_вр = М_z . (4.9)

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Определение мощности при вращательном движении ее определению при поступательном движении (4.5). Мгновенная мощность может также быть выражена через угловую скорость вращения. В случае действия постоянного вращательного момента

. (4.10)

4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия тела – это энергия, представляющая меру его механического движения и измеряемая той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки.

Найдем выражение для кинетической энергии твердого тела В, имеющего массу m и движущегося поступательно со скоростью v.

Пусть тело В тормозится, наталкиваясь на неподвижно закрепленное тело С и деформируя его. При этом тело В, действуя на тело С с некоторой силой F (в общем случае переменной), совершает на малом участке пути ds работу

dA = F_ ds .

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила (–F), касательная которой (–F_) вызывает изменение численного значения скорости тела. По второму закону Ньютона

.

Следовательно,

или . (4.11)

Работа, совершаемая телом В до полной остановки,

. (4.12)

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

. (4.13)

Из формулы (4.13) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела и не может быть отрицательной (Е_к  0). Выражение (4.13) справедливо, в частности, для кинетической энергии материальной точки.

Если в процессе движения скорость тела изменяется от v₁ до v₂, то работа силы, вызвавшей это изменение,

. (4.14)

Любую механическую систему можно рассматривать как совокупность материальных точек. Поэтому кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, образующих эту систему:

, (4.15)

где m_i, v_i – масса и скорость i-й материальной точки.

Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется величинами масс и скоростей движения входящих в нее материальных точек. Она не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы приобрели данные значения скоростей.