Физика / Теоритическая механика в задачах и примерах

относительное ускорение груза А при его движении вниз по боковой грани призмы:

	(13.4)
x g sin f cos a cos f sin .

Воспользовавшись уравнением (13.4), можно найти предельное значение угла , при котором груз будет находиться в относительном покое. Полагая в (13.4) x 0 , получаем

g sin f cos a cos f sin 0,

откуда находим

f aarctg g .

1 f ag

По теме «Динамика относительного движения» рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 33.5, 33.9, 33.14, 33.19.

14. ТЕМА 17. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Во многих случаях задачи, в которых рассматривается движение системы материальных точек, могут быть решены с помощью общих теорем динамики. Так как выбор соответствующей теоремы связан с известными трудностями, то полезно иметь в виду следующие соображения

1)Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно решать обе задачи динамики механической системы: т. е. зная закон движения центра масс, определить главный вектор внешних сил, действующих на систему, и, наоборот, зная внешние силы, найти уравнения движения центра масс. В случае, когда имеет место закон сохранения движения центра масс, эта теорема позволяет по перемещению одного их тел системы находить перемещение другого её тела.

2)Теоремами об изменении главного вектора количества движения механической системы удобно пользоваться, если действующие внешние силы являются постоянными или функциями времени а в число данных или неизвестных величин входит промежуток времени их действия. Закон сохранения количества движения удобно применять в случаях, когда по изменению поступательной скорости одного тела надо определить скорость другого тела системы.

3)Для изучения движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, следует применить теорему об изменении главного момента количества движения механической системы относительно оси вращения тела. Применение закона сохранения кинетического момента

позволяет по величине или по скорости одной части механической системы определить изменение угловой скорости или угла поворота другой её части.

4) Если внешние силы постоянны или зависят от положений точек системы, а в число данных и искомых величин входят перемещения точек системы или их скорости в начале и в конце этих перемещений, то следует применить теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в конечной форме.

14.1. Теорема о движении центра масс механической системы

На практическом занятии с помощью теоремы о движении центра масс можно решать как прямые, так и обратные задачи динамики механической системы, т. е. определить закон движения центра масс системы или находить реакции внешних связей. В этом случае рекомендуется следующая последовательность действий:

1)изобразить все внешние силы системы;

2)ввести декартовую систему координат;

3)записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовые оси;

4)вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на выбранные декартовые оси и подставить их в составленные уравнения теоремы о движении центра масс;

5)в зависимости от условия решать прямую, либо обратную задачи динамики.

Пример 14.1. Звенья ОА и АВ кривошипно-ползунного механизма ОАВ

представляют собой однородные стержни длиной l и массой m каждый. Определить наибольшее горизонтальное давление на ось шарнира О,

если угловая скорость вращения кривошипа ОА постоянна и равна , а масса

ползуна В равна m (рис. 14.1).

y				A
YO		C1			C	2	N
			P	P
								x
O							B
	XO
							P

Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой о движении центра масс

r	n r е	. (14.1)
MaC Fк

к 1

Рис. 14.1	Чтобы	исключить	силы,
	вращающие кривошип		ОА и

давление на него со стороны шатуна АВ и ползуна В, сделаем их внутренними. Для этого рассмотрим движение всей системы.

Изобразим все внешние силы Fке : ХО , YО реакции шарнира О, N нормальную реакцию направляющей для ползуна В, силы тяжести Р,

приложив их центры тяжести С1, С2 и В однородных тел. Выберем декартовую систему координат Оху с началом в неподвижной точке О.

Запишем теорему (14.1) в проекции на ось Ох:

MxC XO ,

где согласно определению центра масс

MxC mOAxC1 mAB xC2 mB xB .

Здесь mOA = mAB = mB = m. На рис.14.1 видно, что

x

OA cos

l

cos

ωt

C

2

2

1

x

OA cos AC

2

cos

3l cos ωt

,

C2

2

xB 2OA cos 2l cos ωt ,

поскольку

OA AB l ,

AOB ABO ,

кривошип

ОА вращается

равномерно по закону t . В результате

M xC 4ml cos ωt ,

а

X

M x

4ml ω2 сos ωt .

O

C

Величина силы горизонтального давления на ось О равна модулю

реакции

X O

4ml ω2

cos ωt

и

принимает

максимальное значение,

если

cos ωt

1.

Следовательно, наибольшее горизонтальное

давление на

ось

шарнира О равно

X

O

max

4ml ω2 .

Пример 14.2. Механическая система состоит из призматического

тела А массой m1, которое может перемещаться по гладкой неподвижной плоскости, и шарнирно прикрепленного к этому телу невесомого жесткого

стержня ОВ длины l c точечным грузом

В массой m2 на свободном конце. Приняв состояние покоя системы

за исходное, определить перемещение S тела А при повороте стержня ОВ парой

II

O	M	B
A	N	I	S	x
		P2
P1
	Рис. 14.2

сил с моментом М из горизонтального положения I в вертикальное положение II (рис. 14.2).

Решить задачу при следующих данных:

m1 = 2 кг, m2 = 0,5 кг, l = 0,2 м.
Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой о движении
центра масс (14.1). Рассмотрим систему, состоящую из телаr А и грузаr									В.
Внешние действующие на нее силы (силы тяжести Р1 m1g , Р2 m2g									и
реакция гладкой плоскости N ) являются вертикальными. Поэтому направим
ось х вдоль горизонтальной плоскости.
n
F е		0, то	&	0 и	&	const		0 , так как в начальный
Поскольку кх			MxC		xC

к 1

момент времени система находилась в покое; поэтому при движении системы xC const . Запишем xC при t = 0 (груз В в положении I) и при t =

t1, когда груз В займет положение II, а тело А переместится на расстояние S в направлении оси х (рис. 14.2).

Для t = 0

0	m x0	m	x0
xC	1 A	2	B	,			(14.2)
	m1 m2
для t = t1
	1	m x1	m		x1
	xC	1 A	2		B	,	(14.3)
		m1 m2

где x0A , xB0 и x1A, x1B декартовые координаты центров масс тела А и груза В соответственно при t = 0 и t = t1 .Поскольку xC const , то xC1 xC0 0. Тогда вычитая (14.2) из (14.3) получим

m1 x1A xA0 m2 x1B xB0 0 ,

или

m1 xA m2 xB 0.

(14.4)

Здесь xA и xВ абсолютные перемещения вдоль оси х соответственно тела А и груза В. В (14.4) xA = S, а xВ = S l, так как абсолютное перемещение груза В складывается из переносного перемещения S вместе с телом А вдоль

оси х и относительного перемещения, равного l, против оси х за счет поворота стержня ОВ из положения I в положение II (рис. 14.2). В результате (14.4) принимает вид

m1S + m2(S – l) = 0.

Отсюда с учетом данных задачи находим

	S	m l		0,04 м.
			2
		m	m
		1	2

Поскольку величина S является положительной, то призма А

действительно переместится в положительном направлении оси х при повороте стержня ОВ из положения I в положение II.

На практическом занятии с помощью теоремы о движении центра масс механической системы рекомендуем решить следующие задачи из сборника[1]: 35.7, 35.10, 35.11, 35.17, 35.20.

14.2. Теоремы об изменении количества движения

На практическом занятии, с помощью теорем об изменении количества движения материальной точки и механической системы определяют скорости точек (тел системы), если действующие силы постоянны или зависят от времени, а в число данных величин входят: массы материальных точек (тел системы), силы (внешние для системы) и промежуток времени их действия.

Задачи на применение теорем об изменении количества движения материальной точки рекомендуется решать в следующей последовательности:

1)изобразить все активные силы и реакции связей, приложенные к материальной точке;

2)выбрать декартовую систему координат;

3)записать теорему об изменении количества движения материальной точки в проекциях на эти оси:

mV1x

mV1y

mV1z

mV0x

mV0 y

mV0z

n	r
Sx Fk ,
k 1	r
n
Sy Fk ,
k 1	r
n

Sz Fк .

к 1

4) если в задаче требуется определить начальную или конечную скорости точки при заданном законе изменения сил и промежутке времени их действия, то, вычислив проекции импульсов сил по формулам

t2	t2		t2
Sx Fxdt,	Sy	Fydt,	Sz Fzdt.
t1	t1		t1

и подставив их значения в уравнения предыдущего пункта, можно определить искомые проекции скорости точки;

4)* если по условию задачи требуется определить одну из постоянных сил, приложенных к материальной точке, то ее можно легко получить из уравнений пункта 3), так как в этом случае

Sx = Fx (t2 t1),

Sy = Fy (t2 t1),

Sz = Fz (t2 t1).

Решать задачи с помощью, закона сохранения главного вектора количеств движения системы надо в такой последовательности:

1)изобразить на рисунке все внешние силы;

2)выбрать систему координат;

3)записать теорему об изменении главного вектора количества движения для системы материальных точек в проекциях на координатные оси;

4)если сумма проекций импульсов внешних сил на ось оказывается

n

равной нулю, например Sx Fke 0 , тоследует приравнять

k 1

Qx0 = Qx1,

n	n
где Qx0 mкx&к0	и Qx1 mкx&к1 между собой проекции на эту ось главного
к 1	к 1

вектора количеств движения системы в начальный и конечный моменты

времени, и из полученного уравнения определить искомую величину.
	Пример		14.3.	Механическая
	система состоит из груза А и колеса В
	одинаковой массы равной m (рис. 14.3).
	Пренебрегая массой каната и блока, а
	также проскальзыванием колеса					по
	неподвижной плоскости определить					Q
	модуль	количества		движения
	системы,	если	закон	движения	груза
	S kt2 / 2	(k = const, t время).
Рис. 14.3	Решение.		Главный		вектор
	количества движения системы
	Q QA QB ,				(14.4)

где QA и QB главные векторы количеств движения груза А и колеса В

соответственно.

Векторы количества движения тел системы равны:

		QA m VA ,	QB m VC ,
где V	A	скорость поступательно движущегося груза А, а V		скорость
			С

центра масс С колеса В. Величина скорости груза А

VA S k t .

Учитывая, что VL VA , а точка P касания колеса В с неподвижной плоскостью является мгновенным центром скоростей, находим

	VC	CP				,
	VL		LP
	или
	VC				R	,
	V	A			2R
	отсюда
			VA		kt .
	V
	C		2			2

Тогда модули количества движения для груза А и колеса В равны:

QA mkt,

QB mkt / 2.

Для определения модуля

количества движения Q вычислим

проекции вектора Q на оси

декартовой системы координат Оху

(рис. 14.3) проецированием

выражения (14.4):

Рис. 14.4

Qx QAx QBx mVC 12 mkt, Qy QAy QBy mVA mkt,

так как QAx mVAx 0, QBy mVCy 0.

Тогда модуль вектора количества движения системы

Q Q2	Q2		5	m kt .
x	y	2

Пример 14.4. По горизонтальной платформе А, движущейся по инерции со скоростью V0 , перемещается тележка В с постоянной

относительной скоростью u . В некоторый момент тележка В была заторможена. Определить общую скорость V платформы с тележкой после

ее остановки, если М масса платформы А, а m масса тележки В (рис. 14.4).

Решение. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из платформы А и тележки В.

Направим ось х по горизонтали в сторону движения платформы А. Поскольку силы тяжести платформы А и тележки В PA и PВ соответственно и нормальные реакции плоскости N1 и N2 направлены по вертикали, и по условию платформа А движется по горизонтальной плоскости по инерции, то

n		0. Тогда теорема об изменении количества движения системы в
F е
k 1	kx

проекции на ось х принимает вид

dQdtx 0.

Следовательно, имеет место закон сохранения количества движения системы вдоль оси х Qx = const, т. е.

Qx0 Qx1,

(14.5)

где Qx0 проекция вектора количества а Qx1 при t = t1, когда тележка В была

движения системы на ось х при t = 0, заторможена. При t = 0

Qx 0 QxA0 QxB0

Здесь для платформы А QxA0 M V0 , а для тележки В QxB0 m V0 u (рис. 14.4), так как абсолютная скорость тележки В в начальный момент

времени равна геометрической сумме переносной VO	и относительной u
скоростей (VB V0 u ), направленных по оси х. Тогда находим
Qx0 M V0 m V0 u .	(14.6)

Пусть при t = t1, когда тележка В была остановлена, общая скорость

платформы А с тележкой В V и направлена по оси х. Поэтому
Qx1 QxA1 QxB1 M m V .	(14.7)
Подставляя (14.6) и (14.7).в уравнение (14.5), получим
M V0 m V0 u M m V .

Отсюда находим

V V0 Mm um .

Следовательно, после остановки тележки В скорость платформы А вместе с тележкой увеличилась в направлении оси х на величину Mmum .

С помощью теорем об изменении количества движения материальной точки и механической системы рекомендуем решить следующие задачи из сборника [1]: 28.2, 28.7, 28.11, 28.12, 36.3, 36.7, 36.8.

14.3. Теорема об изменении кинетического момента системы

На практическом занятии применяют теорему об изменении кинетического момента системы (главного момента количества движения

механической системы) в том случае, если в состав тел системы входит твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Тогда задачи с помощью этой теоремы рекомендуется решать в следующем порядке:

1)направить одну из осей координат по неподвижной оси вращения (по направлению вектора угловой скорости вращающегося тела);

2)записать теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно соответствующей оси;

3)изобразить все внешние силы системы;

4)вычислить главный момент внешних сил относительно этой оси;

5)определить главный момент количества движения системы относительно неподвижной оси и затем вычислить от него производную по времени;

6)подставить результаты пунктов 4) и 5) в 2) и затем, в, зависимости от условия, решить прямую либо обратную задачу динамики.

Задачи с помощью теоремы о сохранении кинетического момента системы рекомендуется решать в такой последовательности:

1)выбрать координатные оси; направив одну из них вдоль неподвижной оси вращения;

2)записать теорему об изменении момента количества движения системы относительно выбранной оси, например, относительно оси z:

dKz mz Fke ;	(14.8)
n

dt k 1

3)изобразить все внешние силы системы;

4)показать, что сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси равна нулю;

5)вычислить и приравнять главные моменты количества движения материальных точек (тел) системы относительно оси z в начальный и конечный моменты времени:

Kz0 K1z	(14.9)
n	n
где Kz0 Kк0z Kz1 Kк1z и; решив уравнение (14.9),
к 1	к 1

определить искомую величину.

Пример 14.5. Человеку с гирями в руках, стоящему на скамейке Жуковского (рис. 14.5), Рис. 14.5 которая может вращаться вокруг вертикальной оси Оz почти без трения, сообщают начальную угловую

скорость 0; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен I0. С какой угловой скоростью 1 начнет вращаться скамейка с человеком, если, разведя руки с гирями в стороны, он увеличит момент инерции системы до I1?