Физика / Теоритическая механика в задачах и примерах

при t 0

n		V 2		0,281 м/с	2	;
a0		0
при t t1			R
n		V 2			2
a1			1	0,031 м/с		.
			R
		rn		rn
Изобразим на рис. 1.3 векторы a0				и a1 в точках M 0 и M1 , направив их по

соответствующим главным нормалям к центру кривизны С дуги M 0M1 .

Так как по условию задачи поезд движется равнозамедленно, то его касательное ускорение будет постоянным по величине ( aτ const ). Для его

определения воспользуемся формулами для случая равнозамедленного криво-линейного движения:

V V0 aτt,

V t aτ t2 ,

s s

0

0

2

или, подставив сюда s0 0, t t1,

V V1 , получим систему двух уравнений

относительно неизвестных aτ и t1 :

V V

a t ,

1

0

τ 1

s V t

aτ t12

.

0

1

2

Решая данную систему уравнений, находим

aτ

V 2 V 2

0,125 м/c

2

0

1

,

2s

t

V0

V1

80 c.

1

aτ

Изобразим на рис. 1.3 вектор

касательного ускорения aτ по

касательной к дуге в точках

M 0

и

M1 . Сложив в этих точках векторы

касательного и нормального ускорений, получим векторы полного ускорения

поезда	a	0 и	a	в начале и конце дуги	M	0	M	1	соответственно. Вычислим
			1

модули этих ускорений:

a0		(aτ )2		(a0n )2		0,1252 0,2812		0,308 м/c2;
a		(a	)2	(an )2		0,1252 0,0312		0,129 м/c2.
1		τ		1
Следовательно,				за 80	секунд движения		поезда по дуге M 0M1

величина его полного ускорения a уменьшилась с 0,308 м/c2 до 0,129 м/c2. По теме 1 «Кинематика точки» рекомендуется решить следующие

задачи из сборника [1]: 10.2; 11.3; 11.10; 12.8; 12.11; 12.18; 12.22; 12.25.

2. ТЕМА 2 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

На практическом занятии по теме «Поступательное и вращательное движение тела» проводится решение задач по определению угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела, а также скоростей и ускорений его точек. Кроме этого рассматриваются примеры на преобразование простейших движений.

2.1. Кинематика вращательного движения тела

I . Задачи на определение угловой скорости и углового ускорения, а также на вычисление скоростей и ускорений точек тела по заданному закону вращательного движения целесообразно решать в такой последовательности:

1) дифференцированием по времени известного закона вращательного движения тела (t) найти зависимости угловой скорости ω ω(t) и

углового ускорения ε ε(t) от времени t и вычислить их значения в заданный

момент времени; 2) определить скорость точки и её ускорение (по нормальной и

касательной составляющим), а также численные значения этих величин для заданного момента времени.

II. При решении задач на преобразование простейших движений (поступательного и вращательного) тел рекомендуется следующий порядок действий:

1) вычислить кинематические характеристики (скорость, ускорение) тела, движение которого задано по условию задачи;

2) пользуясь формулами кинематики точки и кинематики вращательного движения определить скорости и ускорения точек тела, которому передается движение.

Пример 2.1. Диск радиуса R вращается вокруг оси, проходящей через центр диска О перпендикулярно его плоскости (рис. 2.1), по закону (t)

радиан. Определить в момент времени t 1 угловую скорость и угловое ускорение диска, а также скорость и ускорение любой точки М на его ободе.

Решить задачу при следующих данных:

R = 2 м, 2e 2t ,

t1 0.

Решение. Вычислим угловую скорость ω и угловое ускорение ε диска в произвольный момент времени t:

R

0

О

0

		а
		0

а0

n

V0

а0

М

ω ddt dtd 2e 2t 4e 2t c-1; ε ddtω dtd 4e 2t 8e 2t c-2.

Рис. 2.1	При t t1 0 ω0 4 с 1, ε0 8 c 2 .
Поскольку ω0 0, а	ε0 0 , то в начальный момент времени диск вращается

вокруг оси О по часовой стрелке замедленно (рис. 2.1). Определим скорость точки М при t1 0:

V0 = ω0R 4 2 8 м/с.

Вектор V0 направлен по касательной к траектории в точке М в сторону

вращения. Вычислим численные значения касательного и нормального ускорений точки при t1 0:

a0τ ε0R 8 2 16 м/c2;

a0n ω02R ( 4)2 2 32 м/c2 .

Так как тело вращается замедленно (V0 0,

a0τ 0 ), то вектор касательного

ускорения a0τ направлен по касательной противоположно вектору скорости

, а вектор нормального ускорения rn по радиусу МО к оси вращения.

V0 a0

Вектор полного ускорения a0 точки М находим геометрическим сло-

τ	rn	, а его модуль определяем по формуле:
жением векторов a0	и a0
	a0		(a0n )2 (a0τ)2 35,78 м/c2 .

Следовательно, в момент времени t1 0 диск вращается замедленно и

величина скорости любой точки М на его ободе равна 8 м/c, а величина её ускорения 35,78 м/c2.

Пример 2.2. Механизм состоит из колёс 1 и 2, находящихся в

зацеплении с зубчатой рейкой 3, движущейся в вертикальных направляющих

(рис. 2.2). Радиусы ступеней колес соответственно равны R1,

R2,

r2.

Определить в момент времени t1 скорость и ускорение рейки 3, а также

ускорение точки А на ободе колеса 2 радиуса R2, если колесо 1 вращается по

закону t .

Найти

промежутки времени ускоренного

и замедленного

движения механизма.

Решить задачу при следующих данных:

(t) 4t t2 рад;

t1 = 1с ;

R1 = 4см;

R2 = 2см;

r2 = 1см .

Решение. Механизм состоит из

V3

колес 1 и 2, совершающих вращатель-

а3

ное движение,

и зубчатой рейки 3,

а

движущейся поступательно в верти-

аA

1

кальных направляющих.

A

Зная

закон вращения колеса 1,

а

1

находим его угловую скорость и угло-

VL

L О2

n

О1

K

вое ускорение:

V

2

K

ω d 1 4 2t

t 1c

2 c 1

;

1

1

1

dt

3

2

2

ε dω1 2 c 2

.

1

dt

Рис. 2.2

Так как при t = 1c ω1 0, а ε1 const 0, то в данный момент времени

колесо 1 вращается против хода часовой стрелки равнозамедленно. В точке K колесо 1 находится в зацеплении с колесом 2, поэтому

VK ω1R1 ω2R2 .

Отсюда

ω2 ω1 R1 2 4 2t t 1c 4 c 1 ;

R2

ε2 ddtω2 4 c 2 .

Направление вектора VK задает направление вращения колеса 2; ω2 изобразим дуговой стрелкой по часовой стрелке, а ε2 против хода часовой

стрелки (рис. 2.2).

Поскольку рейка 3 находится в зацеплении с колесом 2 в точке L, то

V3 VL ω2 r2 2 4 2t 1 t 1c 4 см/с;

a3 dVdt3 4 см/с2.

При t = 1 c рейка 3 совершает равнозамедленное поступательное движение вверх.

Определяем ускорение точки А вращающегося колеса 2:

aA aAn aAτ ,

где

aAn ω22 R2 32 см/с2,

и на рис. 2.2 вектор нормального ускорения rn направлен из точки А по aA

радиусу к оси вращения О2 колеса 2;

aAτ ε2R2 8 см/с2,

и вектор касательного ускорения r τ направлен по касательной к окружности aA

в точке А в направлении ε2 (aA aAn ). Геометрически складывая векторы

n	r τ									и
aA	и aA (рис. 2.2), получаем вектор полного ускорения aA точки А
находим его модуль:
			aA (aAn )2 (aAτ )2 33 см/с2.
	Теперь определим			промежутки времени,			когда колесо 1	вращается
ускоренно, а		когда замедленно. Поскольку угловое ускорение						колеса		1
ε1 const 0,		то оно будет вращаться равнозамедленно для промежутка
времени, когда			ω1 0, т.	е.	ω1 4 2t 0	при	0 t 2 c . Когда t		2 c ,
ω1 0, колесо		1	остановится.		При t 2 c ω1	0	и ε1 0, и колесо 1		будет

вращаться равноускоренно по часовой стрелке.

По теме 2 «Поступательное и вращательное движение твердого тела» рекомендуется решить следующие задачи из сборника [1]: 13.6; 13.8; 13.14; 13.15; 13.17; 13.18; 14.3; 14.4; 14.10.

3. ТЕМА 3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

На практических занятиях по теме «Плоскопараллельное (плоское) движение тела» проводится решение задач по определению скоростей и

ускорений точек плоских механизмов, а также нахождение угловых скоростей и угловых ускорений их звеньев.

3.1. Задачи на плоское движения твердого тела

Если в задаче имеется тело (звено механизма), совершающее плоское (плоскопараллельное) движение, то при определении кинематических характеристик этого тела или его точек следует придерживаться следующего порядка.

I. При нахождении угловой скорости тела и скоростей его точек при помощи МЦС:

1)определить величину и изобразить на рисунке вектор скорости точки тела, движение которого задано по условию задачи (для многозвенного механизма обычно задано вращение кривошипа и такой точкой является шарнир, соединяющий кривошип с шатуном или коромысло с шатуном);

2)найти другую точку тела, совершающего плоское движение, направление скорости которой известно, и изобразить вектор её скорости;

3)определить положение МЦС, т. е. найти точку пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей этих двух точек;

4)вычислить в данный момент времени угловую скорость тела, разделив скорость точки, модуль которой известен, на её расстояние до МЦС;

5)определить величину скорости любой точки тела при плоском движении умножением угловой скорости тела на расстояние от точки до МЦС (вектор скорости изобразить перпендикулярно к отрезку, соединяющему эту точку с МЦС в направлении угловой скорости тела).

Этим способом удобно пользоваться при качении без скольжения катков (колес) по неподвижной поверхности.

II. При нахождении скоростей точек при помощи теоремы о проекциях скоростей двух точек тела:

1)выполнить действия пунктов 1 и 2, приведенных выше;

2)провести через эти точки ось;

3)проецируя векторы скоростей точек на ось, вычислить величину скорости второй точки тела.

Подчеркнём, что этот способ позволяет определить величину скорости точки, если только известно направление её скорости, но этим методом невозможно определить угловую скорость тела.

III. При нахождении ускорений точек и углового ускорения тела при плоскопараллельном движении.

В тех случаях, когда известны ускорение одной точки тела при плоском движении, его угловая скорость и направление ускорения или траектория другой точки этого тела, для определения ускорений любых его точек целесообразен следующий порядок действий:

1) принять точку, ускорение которой известно по модулю и направлению (или его можно найти по данным задачи), за полюс и применить теорему об ускорениях точек плоской фигуры;

2. векторы ускорений полюса и нормального ускорения рассматриваемой точки при вращении тела вокруг полюса, входящие в правую часть теоремы, определить по модулю и показать их на рисунке;

3)изобразить неизвестный по величине (обычно в задачах угловое ускорение тела при плоском движении не задано) вектор касательного ускорения рассматриваемой точки при вращении тела вокруг полюса перпендикулярным к вектору её нормального ускорения и направить его по скорости точки, предполагая, что вращение тела вокруг полюса является ускоренным;

4)для определения искомого ускорения точки тела следует задать направление этого вектора и изобразить его на рисунке;

5)ввести декартовую систему координат, направив одну из осей вдоль прямой, проходящей через полюс и рассматриваемую точку;

6)найти значение искомого ускорения точки из алгебраического уравнения, полученного проецированием векторного равенства, выражающего теорему об ускорениях точек плоской фигуры, на ось, проходящую через полюс и эту точку;

7)определить значение касательного ускорения рассматриваемой точки при вращении тела вокруг полюса из алгебраического уравнения, полученного проецированием векторного равенства, выражающего теорему об ускорениях точек плоской фигуры, на ось, параллельную искомому вектору ускорения;

8)вычислить значение углового ускорения тела при плоском движении, разделив найденное значение касательного ускорения точки при вращении тела вокруг полюса на расстояние от этой точки до полюса;

9)для определения ускорения любой другой точки С тела при плоском движении воспользоваться теоремой об ускорениях точек плоской фигуры, в которой векторы ускорения полюса, касательного и нормального ускорений во вращательном движения точки С вокруг полюса найти по величине и изобразить на рисунке;

10)поскольку модуль и направление ускорения произвольной точки С неизвестны, то заменить этот вектор в левой части, рассматриваемой теоремы, двумя составляющими, разложив его по выбранным декартовым

осям: аC аCxi аCy j ;

11. вычислить значения проекций аCx и аCy ускорения точки С на

декартовые оси, спроецировав рассматриваемое векторное уравнение, выражающее теорему об ускорениях точек плоской фигуры с преобразованной левой частью на эти оси, и определить величину искомого

ускорения точки С тела по формуле аC

аCx

2 аCy

2 .

Из пункта 4 следует, что для определения ускорения точки тела при плоском движении необходимо задать направление этого вектора или знать вид траектории точки.

2

V

а

B

B

B

B

3

x

аAA

2

аВnA

n

а

2

2

V

а

1

аAn

а

ВA

B

B

B

y

x

аA

2

n

O

1

A

2

аВA

а

а

1

1

33

аAn

ВA

3

y

O 1

O1

1

а

б

Рис. 3.1

Для многозвенных механизмов точками, траектории которых известны, являются соединительные шарниры. Например, траекторией шарнира В (рис. 3.1, а) одновременно принадлежащего шатуну 2, совершающему плоское движение, и ползуну 3, движущемуся в горизонтальных направляющих, является прямая, и для определения ускорения точки В вектор ускорения этой точки следует направить по этой прямой так же, как и вектор её скорости, предполагая ускоренное движение ползуна 3.

Если же траекторией шарнира В (рис. 3.1, б), одновременно принадлежащего шатуну 2, совершающему плоское движение, и коромыслу

3, вращающемуся вокруг неподвижной оси O1 , является дуга окружности

радиуса O1B , то ускорение аB следует разложить на касательное и нормальное ускорения как точки вращающегося коромысла 3:

аrB аrBn аrBτ .

Определить модуль нормального ускорения аBn и направить этот вектор из точки В к оси вращения коромысла O1 , а вектор касательного ускорения аBτ изобразить перпендикулярно нормальному ускорению аBn , направив его по скорости VB точки, т. е. предполагая, что коромысло 3 вращается ускоренно (ε3 и ω3 направлены в одну сторону).

Тогда при заданном ускоренном вращении кривошипа 1 принять точку А за полюс и записать равенство, выражающее теорему об ускорениях точек

плоской фигуры в виде аBn аBτ аAn аAτ аBnА аBτА . Затем спроецировать это векторное уравнение на ось Вх, из полученного алгебраического уравнения

найти значение касательного ускорения аBτ и вычислить величину ускорения точки В по формуле аB аBn 2 аBτ 2 .

Если значение какого-либо из найденных ускорений отрицательно, то векторы этих ускорений в действительности направлены противоположно показанным на рисунке.

Например, если в рассмотренном выше примере получим значение касательного ускорения аBτ меньше нуля (аBτ 0), то в положении механизма

на рис. 3.1, б вектор аBτ направлен противоположно скорости VB точки В, что

означает, что коромысло 3 вращается замедленно.

IV. При нахождении угловой скорости, углового ускорения и ускорений точек тела при плоскопараллельном движении.

В тех случаях, когда известны ускорения двух точек плоской фигуры по модулю и направлению, для определения угловой скорости, углового ускорения и ускорений любых точек этой фигуры целесообразен следующий порядок действий:

1)принять одну из точек, ускорение которой известно, за полюс и применить теорему об ускорениях точек плоской фигуры для второй точки;

2)изобразить на рисунке данные по условию задачи векторы ускорений обеих точек, а также неизвестные по модулю векторы нормального и касательного ускорений второй точки при вращении плоской фигуры вокруг полюса, направив вектор нормального ускорения из второй точки к полюсу, а вектор касательного ускорения перпендикулярно вектору нормального ускорения;

3)ввести на плоскости декартовую систему координат, направив одну из осей вдоль прямой, соединяющей эти точки;

4)определить значения нормального и касательного ускорений второй точки при вращении плоской фигуры вокруг полюса из алгебраических уравнений, полученных проецированием векторного равенства, связывающего ускорения этих двух точек, на декартовые оси;

5)найти величину угловой скорости и значение углового ускорения плоской фигуры в положении, изображенном на рисунке;

6)для определения ускорения любой другой точки С плоской фигуры выполнить действия пунктов 9 11, приведенных выше.

Пример 3.1. Определить скорость и ускорение ползуна В механизма в положении, изображенном на рис. 3.2, если кривошип ОА вращается с

постоянной угловой скоростью . Найти также угловое ускорение ε2 звена

АВ и ускорение точки D середины звена 2. Решить задачу при следующих данных:

ОА = 0,2 м; АВ = 0,8 м; АD = DB; = 2 рад/c; 30o .

Решение. Механизм состоит из звена 1, вращающегося вокруг оси О, звена 2, совершающего плоское движение, и ползуна В, движущегося поступательно в вертикальных направляющих.

Определим скорость точки А звена 1, движение которого задано:

VA ω OA 0,4 м/c .

Так как траекторией точки А является

окружность радиусом ОА, то вектор VA направлен перпендикулярно радиусу ОА в

сторону вращения звена 1. Вектор скорости VВ

ползуна В изобразим вдоль его направляющих вертикально вверх.

Для определения величины скорости точки В построим МЦС (точку Р) для звена 2, восстановив в точках А и В перпендикуляры к

их скоростям VA и VВ до их пересечения.

	О
	1	VА
	А
2
VВ	D
		2
В
		Р
	Рис. 3.2

Направление вектора скорости VA точки А определяет направление поворота звена 2 с угловой скоростью ω2 по ходу часовой стрелки вокруг его

МЦС (точки Р) в данный момент времени (рис. 3.2). Запишем пропорцию для МЦС:

ω2 VAPA BPVB .

Вычислив

АР АВcos α 0,693м, BP AB sin α 0,4 м,

находим

ω2 APVA 0,577 рад/c ,

VB ω2 BP 0,23м/c .

Определим ускорение аА точки А звена 1, вращающегося вокруг оси О:

аrА аrАn аrАτ ,

где

аАn ω2 ОА 0,8 м/c2 ,

аАτ ε OА ddtω OA 0,